Løs ∫ (from 1 to 4) of (4x^2+3) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 4 } ( 4 x ^ { 2 } + 3 ) d x$$

Evaluer

$$93$$

Løsningsvejledning

Evaluer den ubestemte integral først.

$$\int 4x^{2}+3\mathrm{d}x$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

Udfaktoriser konstanten i hver af ordene.

$$4\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multiplicer 4 gange \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{4x^{3}}{3}+\int 3\mathrm{d}x$$

Find integralen af 3 ved hjælp af tabellen med almindelige integraler for \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{4x^{3}}{3}+3x$$

Den definitive integral er antiafledningen af udtrykket evalueret ved den øvre integrationsgrænse minus antiafledningen evalueret ved den nedre integrationsgrænse.

$$\frac{4}{3}\times 4^{3}+3\times 4-\left(\frac{4}{3}\times 1^{3}+3\times 1\right)$$

Forenkling.

$$93$$