Løs ∫ (from 1 to 2) of y-1/y wrt y

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } y - \frac { 1 } { y } d y$$

Evaluer

$$\frac{3}{2}-\ln(2)\approx 0,806852819$$

Løsningsvejledning

Evaluer den ubestemte integral først.

$$\int y-\frac{1}{y}\mathrm{d}y$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int y\mathrm{d}y+\int -\frac{1}{y}\mathrm{d}y$$

Udfaktoriser konstanten i hver af ordene.

$$\int y\mathrm{d}y-\int \frac{1}{y}\mathrm{d}y$$

\int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int y\mathrm{d}y med \frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\int \frac{1}{y}\mathrm{d}y$$

Brug \int \frac{1}{y}\mathrm{d}y=\ln(|y|) fra tabellen med almindelige integraler for at få resultatet.

$$\frac{y^{2}}{2}-\ln(|y|)$$

Den definitive integral er antiafledningen af udtrykket evalueret ved den øvre integrationsgrænse minus antiafledningen evalueret ved den nedre integrationsgrænse.

$$\frac{2^{2}}{2}-\ln(|2|)-\left(\frac{1^{2}}{2}-\ln(|1|)\right)$$

Forenkling.

$$\frac{3}{2}-\ln(2)$$