Løs ∫ (from 1 to 2) of x^2+2x+sqrt{x wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } x ^ { 2 } + 2 x + \sqrt { x } d x$$

Evaluer

$$\frac{2\left(2\sqrt{2}+7\right)}{3}\approx 6,55228475$$

Løsningsvejledning

Evaluer den ubestemte integral først.

$$\int x^{2}+2x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Udfaktoriser konstanten i hver af ordene.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}+2\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multiplicer 2 gange \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Omskriv \sqrt{x} som x^{\frac{1}{2}}. \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x med \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Forenkling.

$$\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Den definitive integral er antiafledningen af udtrykket evalueret ved den øvre integrationsgrænse minus antiafledningen evalueret ved den nedre integrationsgrænse.

$$\frac{2^{3}}{3}+2^{2}+\frac{2}{3}\times 2^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{1^{3}}{3}+1^{2}+\frac{2}{3}\times 1^{\frac{3}{2}}\right)$$

Forenkling.

$$\frac{14+4\sqrt{2}}{3}$$