Løs ∫ (from 1 to 2) of (x^2+sqrt{x})

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( x ^ { 2 } + \sqrt { x } )$$

Evaluer

$$\frac{4\sqrt{2}+5}{3}\approx 3,55228475$$

Løsningsvejledning

Evaluer den ubestemte integral først.

$$\int x^{2}+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Omskriv \sqrt{x} som x^{\frac{1}{2}}. \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x med \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Forenkling.

$$\frac{x^{3}+2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Den definitive integral er antiafledningen af udtrykket evalueret ved den øvre integrationsgrænse minus antiafledningen evalueret ved den nedre integrationsgrænse.

$$\frac{2^{3}}{3}+\frac{2}{3}\times 2^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{1^{3}}{3}+\frac{2}{3}\times 1^{\frac{3}{2}}\right)$$

Forenkling.

$$\frac{5+4\sqrt{2}}{3}$$