Løs ∫ (from 1 to 2) of (2x^3+4x)^2 wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( 2 x ^ { 3 } + 4 x ) ^ { 2 } d x$$

Evaluer

$$\frac{21956}{105}\approx 209,104761905$$

Løsningsvejledning

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2x^{3}+4x\right)^{2}.

$$\int _{1}^{2}4\left(x^{3}\right)^{2}+16x^{3}x+16x^{2}\mathrm{d}x$$

For at hæve en potens til en anden potens, skal du gange eksponenterne. Gang 3 og 2 for at få 6.

$$\int _{1}^{2}4x^{6}+16x^{3}x+16x^{2}\mathrm{d}x$$

Hvis du vil gange potenser for den samme base, skal du tilføje deres eksponenter. Tilføj 3 og 1 for at få 4.

$$\int _{1}^{2}4x^{6}+16x^{4}+16x^{2}\mathrm{d}x$$

Evaluer den ubestemte integral først.

$$\int 4x^{6}+16x^{4}+16x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int 4x^{6}\mathrm{d}x+\int 16x^{4}\mathrm{d}x+\int 16x^{2}\mathrm{d}x$$

Udfaktoriser konstanten i hver af ordene.

$$4\int x^{6}\mathrm{d}x+16\int x^{4}\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{6}\mathrm{d}x med \frac{x^{7}}{7}. Multiplicer 4 gange \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{4x^{7}}{7}+16\int x^{4}\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{4}\mathrm{d}x med \frac{x^{5}}{5}. Multiplicer 16 gange \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{4x^{7}}{7}+\frac{16x^{5}}{5}+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multiplicer 16 gange \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{4x^{7}}{7}+\frac{16x^{5}}{5}+\frac{16x^{3}}{3}$$

Forenkling.

$$\frac{16x^{3}}{3}+\frac{16x^{5}}{5}+\frac{4x^{7}}{7}$$

Den definitive integral er antiafledningen af udtrykket evalueret ved den øvre integrationsgrænse minus antiafledningen evalueret ved den nedre integrationsgrænse.

$$\frac{16}{3}\times 2^{3}+\frac{16}{5}\times 2^{5}+\frac{4}{7}\times 2^{7}-\left(\frac{16}{3}\times 1^{3}+\frac{16}{5}\times 1^{5}+\frac{4}{7}\times 1^{7}\right)$$

Forenkling.

$$\frac{21956}{105}$$