Løs ∫ (from 0 to 5) of x^2(x-3)(x-5)

$$\int _ { 0 } ^ { 5 } x ^ { 2 } ( x - 3 ) ( x - 5 )$$

Evaluer

$$0$$

Løsningsvejledning

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2} med x-3.

$$\int _{0}^{5}\left(x^{3}-3x^{2}\right)\left(x-5\right)\mathrm{d}x$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{3}-3x^{2} med x-5, og kombiner ens led.

$$\int _{0}^{5}x^{4}-8x^{3}+15x^{2}\mathrm{d}x$$

Evaluer den ubestemte integral først.

$$\int x^{4}-8x^{3}+15x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+\int -8x^{3}\mathrm{d}x+\int 15x^{2}\mathrm{d}x$$

Udfaktoriser konstanten i hver af ordene.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x-8\int x^{3}\mathrm{d}x+15\int x^{2}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{4}\mathrm{d}x med \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{5}}{5}-8\int x^{3}\mathrm{d}x+15\int x^{2}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{3}\mathrm{d}x med \frac{x^{4}}{4}. Multiplicer -8 gange \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{5}}{5}-2x^{4}+15\int x^{2}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multiplicer 15 gange \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{5}}{5}-2x^{4}+5x^{3}$$

Den definitive integral er antiafledningen af udtrykket evalueret ved den øvre integrationsgrænse minus antiafledningen evalueret ved den nedre integrationsgrænse.

$$\frac{5^{5}}{5}-2\times 5^{4}+5\times 5^{3}-\left(\frac{0^{5}}{5}-2\times 0^{4}+5\times 0^{3}\right)$$

Forenkling.

$$0$$