Løs ∫ (from 0 to 1) of 2^x+x^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } 2 ^ { x } + x ^ { 2 } d x$$

Evaluer

$$\frac{1}{\ln(2)}+\frac{1}{3}\approx 1,776028374$$

Løsningsvejledning

Evaluer den ubestemte integral først.

$$\int 2^{x}+x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int 2^{x}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Brug \int x^{k}\mathrm{d}k=\frac{x^{k}}{\ln(x)} fra tabellen med almindelige integraler for at få resultatet.

$$\frac{2^{x}}{\ln(2)}+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{2^{x}}{\ln(2)}+\frac{x^{3}}{3}$$

Den definitive integral er antiafledningen af udtrykket evalueret ved den øvre integrationsgrænse minus antiafledningen evalueret ved den nedre integrationsgrænse.

$$2^{1}\ln(2)^{-1}+\frac{1^{3}}{3}-\left(2^{0}\ln(2)^{-1}+\frac{0^{3}}{3}\right)$$

Forenkling.

$$\frac{1}{3}+\frac{1}{\ln(2)}$$