Løs ∫ (from 0 to 1) of (2x+3)^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 2 x + 3 ) ^ { 2 } d x$$

Evaluer

$$\frac{49}{3}\approx 16,333333333$$

Løsningsvejledning

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2x+3\right)^{2}.

$$\int _{0}^{1}4x^{2}+12x+9\mathrm{d}x$$

Evaluer den ubestemte integral først.

$$\int 4x^{2}+12x+9\mathrm{d}x$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int 12x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

Udfaktoriser konstanten i hver af ordene.

$$4\int x^{2}\mathrm{d}x+12\int x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multiplicer 4 gange \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{4x^{3}}{3}+12\int x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multiplicer 12 gange \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{4x^{3}}{3}+6x^{2}+\int 9\mathrm{d}x$$

Find integralen af 9 ved hjælp af tabellen med almindelige integraler for \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{4x^{3}}{3}+6x^{2}+9x$$

Den definitive integral er antiafledningen af udtrykket evalueret ved den øvre integrationsgrænse minus antiafledningen evalueret ved den nedre integrationsgrænse.

$$\frac{4}{3}\times 1^{3}+6\times 1^{2}+9\times 1-\left(\frac{4}{3}\times 0^{3}+6\times 0^{2}+9\times 0\right)$$

Forenkling.

$$\frac{49}{3}$$