Løs ∫ (from 0 to 1) of (1-8v^3+16v^7)dv

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - 8 v ^ { 3 } + 16 v ^ { 7 } ) d v$$

Evaluer

$$1$$

Løsningsvejledning

Evaluer den ubestemte integral først.

$$\int 1-8v^{3}+16v^{7}\mathrm{d}v$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int 1\mathrm{d}v+\int -8v^{3}\mathrm{d}v+\int 16v^{7}\mathrm{d}v$$

Udfaktoriser konstanten i hver af ordene.

$$\int 1\mathrm{d}v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Find integralen af 1 ved hjælp af tabellen med almindelige integraler for \int a\mathrm{d}v=av.

$$v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

\int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int v^{3}\mathrm{d}v med \frac{v^{4}}{4}. Multiplicer -8 gange \frac{v^{4}}{4}.

$$v-2v^{4}+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

\int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int v^{7}\mathrm{d}v med \frac{v^{8}}{8}. Multiplicer 16 gange \frac{v^{8}}{8}.

$$v-2v^{4}+2v^{8}$$

Den definitive integral er antiafledningen af udtrykket evalueret ved den øvre integrationsgrænse minus antiafledningen evalueret ved den nedre integrationsgrænse.

$$1-2\times 1^{4}+2\times 1^{8}-\left(0-2\times 0^{4}+2\times 0^{8}\right)$$

Forenkling.

$$1$$