Løs ∫ (from 0 to pi) of (cosx+x^2) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { \pi } ( \cos x + x ^ { 2 } ) d x$$

Evaluer

$$\frac{\pi ^{3}}{3}\approx 10,33542556$$

Løsningsvejledning

Evaluer den ubestemte integral først.

$$\int \cos(x)+x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int \cos(x)\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Brug \int \cos(x)\mathrm{d}x=\sin(x) fra tabellen med almindelige integraler for at få resultatet.

$$\sin(x)+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}.

$$\sin(x)+\frac{x^{3}}{3}$$

Den definitive integral er antiafledningen af udtrykket evalueret ved den øvre integrationsgrænse minus antiafledningen evalueret ved den nedre integrationsgrænse.

$$\sin(\pi )+\frac{\pi ^{3}}{3}-\left(\sin(0)+\frac{0^{3}}{3}\right)$$

Forenkling.

$$\frac{\pi ^{3}}{3}$$