Løs ∫ (from 0 to pi / 3) of (1-cosθ)^2

$$\int _ { 0 } ^ { \pi / 3 } ( 1 - \cos \theta ) ^ { 2 }$$

Evaluer

$$\frac{\pi \left(\cos(\theta )-1\right)^{2}}{3}$$

Løsningsvejledning

Evaluer den ubestemte integral først.

$$\int \left(1-\cos(\theta )\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Find integralen af \left(1-\cos(\theta )\right)^{2} ved hjælp af tabellen med almindelige integraler for \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}x$$

Den definitive integral er antiafledningen af udtrykket evalueret ved den øvre integrationsgrænse minus antiafledningen evalueret ved den nedre integrationsgrænse.

$$\frac{1}{3}\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}\pi +0\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}$$

Forenkling.

$$\frac{\left(\cos(\theta )-1\right)^{2}\pi }{3}$$

Differentier w.r.t. θ

$$-\frac{2\pi \sin(\theta )\left(\cos(\theta )-1\right)}{3}$$