Løs ∫ (from 0 to frac { pi) of {2}}(1-sinθ)dθ

$$\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } ( 1 - \sin \theta ) d \theta$$

Evaluer

$$\frac{\pi }{2}-1\approx 0,570796327$$

Løsningsvejledning

Evaluer den ubestemte integral først.

$$\int 1-\sin(\theta )\mathrm{d}\theta$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int 1\mathrm{d}\theta +\int -\sin(\theta )\mathrm{d}\theta$$

Udfaktoriser konstanten i hver af ordene.

$$\int 1\mathrm{d}\theta -\int \sin(\theta )\mathrm{d}\theta$$

Find integralen af 1 ved hjælp af tabellen med almindelige integraler for \int a\mathrm{d}\theta =a\theta .

$$\theta -\int \sin(\theta )\mathrm{d}\theta$$

Brug \int \sin(\theta )\mathrm{d}\theta =-\cos(\theta ) fra tabellen med almindelige integraler for at få resultatet. Multiplicer -1 gange -\cos(\theta ).

$$\theta +\cos(\theta )$$

Den definitive integral er antiafledningen af udtrykket evalueret ved den øvre integrationsgrænse minus antiafledningen evalueret ved den nedre integrationsgrænse.

$$\frac{\pi }{2}+\cos(\frac{\pi }{2})-\cos(0)$$

Forenkling.

$$\frac{\pi }{2}-1$$