Løs ∫ (from - 2 to 3) of (4x^2-6x+2) wrt x

$$\int _ { - 2 } ^ { 3 } ( 4 x ^ { 2 } - 6 x + 2 ) d x$$

Evaluer

$$\frac{125}{3}\approx 41,666666667$$

Løsningsvejledning

Evaluer den ubestemte integral først.

$$\int 4x^{2}-6x+2\mathrm{d}x$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int -6x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Udfaktoriser konstanten i hver af ordene.

$$4\int x^{2}\mathrm{d}x-6\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multiplicer 4 gange \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-6\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multiplicer -6 gange \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-3x^{2}+\int 2\mathrm{d}x$$

Find integralen af 2 ved hjælp af tabellen med almindelige integraler for \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{4x^{3}}{3}-3x^{2}+2x$$

Den definitive integral er antiafledningen af udtrykket evalueret ved den øvre integrationsgrænse minus antiafledningen evalueret ved den nedre integrationsgrænse.

$$\frac{4}{3}\times 3^{3}-3\times 3^{2}+2\times 3-\left(\frac{4}{3}\left(-2\right)^{3}-3\left(-2\right)^{2}+2\left(-2\right)\right)$$

Forenkling.

$$\frac{125}{3}$$