Løs ∫ (from - 2 to 0) of (1/2x^4+1/4x^3-x) wrt x

$$\int _ { - 2 } ^ { 0 } ( \frac { 1 } { 2 } x ^ { 4 } + \frac { 1 } { 4 } x ^ { 3 } - x ) d x$$

Evaluer

$$\frac{21}{5}=4,2$$

Løsningsvejledning

Evaluer den ubestemte integral først.

$$\int \frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{3}}{4}-x\mathrm{d}x$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int \frac{x^{4}}{2}\mathrm{d}x+\int \frac{x^{3}}{4}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

Udfaktoriser konstanten i hver af ordene.

$$\frac{\int x^{4}\mathrm{d}x}{2}+\frac{\int x^{3}\mathrm{d}x}{4}-\int x\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{4}\mathrm{d}x med \frac{x^{5}}{5}. Multiplicer \frac{1}{2} gange \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{5}}{10}+\frac{\int x^{3}\mathrm{d}x}{4}-\int x\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{3}\mathrm{d}x med \frac{x^{4}}{4}. Multiplicer \frac{1}{4} gange \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{5}}{10}+\frac{x^{4}}{16}-\int x\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multiplicer -1 gange \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{5}}{10}+\frac{x^{4}}{16}-\frac{x^{2}}{2}$$

Den definitive integral er antiafledningen af udtrykket evalueret ved den øvre integrationsgrænse minus antiafledningen evalueret ved den nedre integrationsgrænse.

$$\frac{0^{5}}{10}+\frac{0^{4}}{16}-\frac{0^{2}}{2}-\left(\frac{\left(-2\right)^{5}}{10}+\frac{\left(-2\right)^{4}}{16}-\frac{\left(-2\right)^{2}}{2}\right)$$

Forenkling.

$$\frac{21}{5}$$