Løs ∫ (from - 1 to 1) of (1-y)y wrt y

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 - y ) y d y$$

Evaluer

$$-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Løsningsvejledning

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 1-y med y.

$$\int _{-1}^{1}y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Evaluer den ubestemte integral først.

$$\int y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int y\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y$$

Udfaktoriser konstanten i hver af ordene.

$$\int y\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

\int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int y\mathrm{d}y med \frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

\int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int y^{2}\mathrm{d}y med \frac{y^{3}}{3}. Multiplicer -1 gange \frac{y^{3}}{3}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}$$

Den definitive integral er antiafledningen af udtrykket evalueret ved den øvre integrationsgrænse minus antiafledningen evalueret ved den nedre integrationsgrænse.

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}-\left(\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}\right)$$

Forenkling.

$$-\frac{2}{3}$$