Løs ∫ 20x(2x+3)^3 wrt x

$$\int 20 x ( 2 x + 3 ) ^ { 3 } d x$$

Evaluer

$$32x^{5}+180x^{4}+360x^{3}+270x^{2}+С$$

Løsningsvejledning

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} til at udvide \left(2x+3\right)^{3}.

$$\int 20x\left(8x^{3}+36x^{2}+54x+27\right)\mathrm{d}x$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 20x med 8x^{3}+36x^{2}+54x+27.

$$\int 160x^{4}+720x^{3}+1080x^{2}+540x\mathrm{d}x$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int 160x^{4}\mathrm{d}x+\int 720x^{3}\mathrm{d}x+\int 1080x^{2}\mathrm{d}x+\int 540x\mathrm{d}x$$

Udfaktoriser konstanten i hver af ordene.

$$160\int x^{4}\mathrm{d}x+720\int x^{3}\mathrm{d}x+1080\int x^{2}\mathrm{d}x+540\int x\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{4}\mathrm{d}x med \frac{x^{5}}{5}. Multiplicer 160 gange \frac{x^{5}}{5}.

$$32x^{5}+720\int x^{3}\mathrm{d}x+1080\int x^{2}\mathrm{d}x+540\int x\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{3}\mathrm{d}x med \frac{x^{4}}{4}. Multiplicer 720 gange \frac{x^{4}}{4}.

$$32x^{5}+180x^{4}+1080\int x^{2}\mathrm{d}x+540\int x\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multiplicer 1080 gange \frac{x^{3}}{3}.

$$32x^{5}+180x^{4}+360x^{3}+540\int x\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multiplicer 540 gange \frac{x^{2}}{2}.

$$32x^{5}+180x^{4}+360x^{3}+270x^{2}$$

Hvis F\left(x\right) er en anti afledt af f\left(x\right), gives der F\left(x\right)+C til sættet af alle anti derivater af f\left(x\right). Derfor skal du føje konstanten for integrations C\in \mathrm{R} til resultatet.

$$270x^{2}+360x^{3}+180x^{4}+32x^{5}+С$$

Differentier w.r.t. x

$$20x\left(2x+3\right)^{3}$$