Løs ∫ inte^kx

$$\int \int e ^ { k x }$$

Evaluer

$$\left\{\begin{matrix}\frac{e^{kx}}{k^{2}}+Сx+С_{1},&k\neq 0\\Сx+\frac{x^{2}}{2}+С_{1},&k=0\end{matrix}\right,$$

Løsningsvejledning

Forenkling.

$$\left(\frac{e^{kx}}{k}+С_{3}\right)x-\frac{-e^{kx}+kxe^{kx}}{k^{2}}$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int x\mathrm{d}x+\int С_{4}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}+\int С_{4}\mathrm{d}x$$

Find integralen af С_{4} ved hjælp af tabellen med almindelige integraler for \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{2}}{2}+С_{4}x$$

Hvis F\left(x\right) er en anti afledt af f\left(x\right), gives der F\left(x\right)+C til sættet af alle anti derivater af f\left(x\right). Derfor skal du føje konstanten for integrations C\in \mathrm{R} til resultatet.

$$\left\{\begin{matrix}\left(\frac{e^{kx}}{k}+С_{3}\right)x-\frac{-e^{kx}+kxe^{kx}}{k^{2}}+С_{7},&\\\frac{x^{2}}{2}+С_{4}x+С_{7},&\end{matrix}\right,$$

Differentier w.r.t. x

$$\left\{\begin{matrix}\frac{e^{kx}}{k}+С,&k\neq 0\\x+С,&k=0\end{matrix}\right,$$