Løs ∫ x^4+x^2+1/x^2+x+1 wrt x

$$\int \frac { x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + 1 } { x ^ { 2 } + x + 1 } d x$$

Evaluer

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x+С$$

Løsningsvejledning

Faktoriser de udtryk, der ikke allerede er faktoriseret i \frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}+x+1}.

$$\int \frac{\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}{x^{2}+x+1}\mathrm{d}x$$

Udlign x^{2}+x+1 i både tælleren og nævneren.

$$\int x^{2}-x+1\mathrm{d}x$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Udfaktoriser konstanten i hver af ordene.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multiplicer -1 gange \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Find integralen af 1 ved hjælp af tabellen med almindelige integraler for \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x$$

Forenkling.

$$x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Hvis F\left(x\right) er en anti afledt af f\left(x\right), gives der F\left(x\right)+C til sættet af alle anti derivater af f\left(x\right). Derfor skal du føje konstanten for integrations C\in \mathrm{R} til resultatet.

$$x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+С$$

Differentier w.r.t. x

$$x^{2}-x+1$$