Løs x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0,434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0,767591879$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -\frac{1}{2},1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-1\right)\left(2x+1\right), det mindste fælles multiplum af 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplicer x-1 og x-1 for at få \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplicer 2x+1 og 2x+1 for at få \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med 2x+1, og kombiner ens led.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x^{2}-x-1 med 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Kombiner 4x^{2} og 6x^{2} for at få 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Kombiner 4x og -3x for at få x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Subtraher 3 fra 1 for at få -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Subtraher 10x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Kombiner x^{2} og -10x^{2} for at få -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Subtraher x fra begge sider.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Kombiner -2x og -x for at få -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Tilføj 2 på begge sider.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

Tilføj 1 og 2 for at få 3.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -9 med a, -3 med b og 3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Kvadrér -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer -4 gange -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer 36 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

Adder 9 til 108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

Tag kvadratroden af 117.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Det modsatte af -3 er 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer 2 gange -9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} når ± er plus. Adder 3 til 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

Divider 3+3\sqrt{13} med -18.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} når ± er minus. Subtraher 3\sqrt{13} fra 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

Divider 3-3\sqrt{13} med -18.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -\frac{1}{2},1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-1\right)\left(2x+1\right), det mindste fælles multiplum af 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplicer x-1 og x-1 for at få \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplicer 2x+1 og 2x+1 for at få \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med 2x+1, og kombiner ens led.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x^{2}-x-1 med 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Kombiner 4x^{2} og 6x^{2} for at få 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Kombiner 4x og -3x for at få x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Subtraher 3 fra 1 for at få -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Subtraher 10x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Kombiner x^{2} og -10x^{2} for at få -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Subtraher x fra begge sider.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Kombiner -2x og -x for at få -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

Subtraher 1 fra -2 for at få -3.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

Divider begge sider med -9.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

Division med -9 annullerer multiplikationen med -9.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

Reducer fraktionen \frac{-3}{-9} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

Reducer fraktionen \frac{-3}{-9} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

Divider \frac{1}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{6}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Føj \frac{1}{3} til \frac{1}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Subtraher \frac{1}{6} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$