Løs x+1/x^2+1-1/2=0

$$\frac{ x+1 }{ { x }^{ 2 } +1 } - \frac{ 1 }{ 2 } =0$$

Løs for x

$$x=\sqrt{2}+1\approx 2,414213562$$

$$x=1-\sqrt{2}\approx -0,414213562$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Gang begge sider af ligningen med 2\left(x^{2}+1\right), det mindste fælles multiplum af x^{2}+1,2.

$$2\left(x+1\right)+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med x+1.

$$2x+2+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Multiplicer 2 og -\frac{1}{2} for at få -1.

$$2x+2-\left(x^{2}+1\right)=0$$

For at finde det modsatte af x^{2}+1 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$2x+2-x^{2}-1=0$$

Subtraher 1 fra 2 for at få 1.

$$2x+1-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+2x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 2 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 4 til 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{8}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2} når ± er plus. Adder -2 til 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-2}{-2}$$

Divider -2+2\sqrt{2} med -2.

$$x=1-\sqrt{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{2} fra -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-2}{-2}$$

Divider -2-2\sqrt{2} med -2.

$$x=\sqrt{2}+1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=1-\sqrt{2} x=\sqrt{2}+1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Gang begge sider af ligningen med 2\left(x^{2}+1\right), det mindste fælles multiplum af x^{2}+1,2.

$$2\left(x+1\right)+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med x+1.

$$2x+2+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Multiplicer 2 og -\frac{1}{2} for at få -1.

$$2x+2-\left(x^{2}+1\right)=0$$

For at finde det modsatte af x^{2}+1 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$2x+2-x^{2}-1=0$$

Subtraher 1 fra 2 for at få 1.

$$2x+1-x^{2}=0$$

Subtraher 1 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$2x-x^{2}=-1$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+2x=-1$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Divider 2 med -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{1}{-1}$$

Divider -1 med -1.

$$x^{2}-2x=1$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=1+1$$

Adder 1 til 1.

$$x^{2}-2x+1=2$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=2$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Forenkling.

$$x-1=\sqrt{2} x-1=-\sqrt{2}$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$