Løs 5x+1/x+2+x-1/x=2

$$\frac{ 5x+1 }{ x+2 } + \frac{ x-1 }{ x } =2$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x+2,x.

$$x\left(5x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med 5x+1.

$$5x^{2}+x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+2 med x-1, og kombiner ens led.

$$5x^{2}+x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Kombiner 5x^{2} og x^{2} for at få 6x^{2}.

$$6x^{2}+x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Kombiner x og x for at få 2x.

$$6x^{2}+2x-2=2x\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x med x+2.

$$6x^{2}+2x-2=2x^{2}+4x$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$6x^{2}+2x-2-2x^{2}=4x$$

Kombiner 6x^{2} og -2x^{2} for at få 4x^{2}.

$$4x^{2}+2x-2=4x$$

Subtraher 4x fra begge sider.

$$4x^{2}+2x-2-4x=0$$

Kombiner 2x og -4x for at få -2x.

$$4x^{2}-2x-2=0$$

Divider begge sider med 2.

$$2x^{2}-x-1=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som 2x^{2}+ax+bx-1. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-1 ab=2\left(-1\right)=-2$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=-2 b=1$$

Omskriv 2x^{2}-x-1 som \left(2x^{2}-2x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(x-1\right)$$

Udfaktoriser 2x i 2x^{2}-2x.

$$2x\left(x-1\right)+x-1$$

Udfaktoriser fællesleddet x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Løs x-1=0 og 2x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x+2,x.

$$x\left(5x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med 5x+1.

$$5x^{2}+x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+2 med x-1, og kombiner ens led.

$$5x^{2}+x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Kombiner 5x^{2} og x^{2} for at få 6x^{2}.

$$6x^{2}+x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Kombiner x og x for at få 2x.

$$6x^{2}+2x-2=2x\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x med x+2.

$$6x^{2}+2x-2=2x^{2}+4x$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$6x^{2}+2x-2-2x^{2}=4x$$

Kombiner 6x^{2} og -2x^{2} for at få 4x^{2}.

$$4x^{2}+2x-2=4x$$

Subtraher 4x fra begge sider.

$$4x^{2}+2x-2-4x=0$$

Kombiner 2x og -4x for at få -2x.

$$4x^{2}-2x-2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -2 med b og -2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+32}}{2\times 4}$$

Adder 4 til 32.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{36}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 36.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±6}{2\times 4}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$x=\frac{2±6}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{2±6}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±6}{8} når ± er plus. Adder 2 til 6.

$$x=\frac{8}{8}$$

Divider 8 med 8.

$$x=1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±6}{8} når ± er minus. Subtraher 6 fra 2.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{-4}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x+2,x.

$$x\left(5x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med 5x+1.

$$5x^{2}+x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+2 med x-1, og kombiner ens led.

$$5x^{2}+x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Kombiner 5x^{2} og x^{2} for at få 6x^{2}.

$$6x^{2}+x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Kombiner x og x for at få 2x.

$$6x^{2}+2x-2=2x\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x med x+2.

$$6x^{2}+2x-2=2x^{2}+4x$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$6x^{2}+2x-2-2x^{2}=4x$$

Kombiner 6x^{2} og -2x^{2} for at få 4x^{2}.

$$4x^{2}+2x-2=4x$$

Subtraher 4x fra begge sider.

$$4x^{2}+2x-2-4x=0$$

Kombiner 2x og -4x for at få -2x.

$$4x^{2}-2x-2=0$$

Tilføj 2 på begge sider. Ethvert tal plus nul giver tallet selv.

$$4x^{2}-2x=2$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{2}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{2}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{2}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{2}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Divider -\frac{1}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Føj \frac{1}{2} til \frac{1}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Adder \frac{1}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$