Løs 4x-3/2x+1-102x-1/4x-3=3

$$\frac{ 4x-3 }{ 2x+1 } -10 \frac{ 2x-1 }{ 4x-3 } =3$$

Løs for x

$$x=\frac{5\sqrt{57}}{48}-\frac{3}{16}\approx 0,598941087$$

$$x=-\frac{5\sqrt{57}}{48}-\frac{3}{16}\approx -0,973941087$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -\frac{1}{2},\frac{3}{4}, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(4x-3\right)\left(2x+1\right), det mindste fælles multiplum af 2x+1,4x-3.

$$\left(4x-3\right)\left(4x-3\right)-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)=3\left(4x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Multiplicer 4x-3 og 4x-3 for at få \left(4x-3\right)^{2}.

$$\left(4x-3\right)^{2}-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)=3\left(4x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(4x-3\right)^{2}.

$$16x^{2}-24x+9-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)=3\left(4x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3 med 4x-3.

$$16x^{2}-24x+9-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)=\left(12x-9\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 12x-9 med 2x+1, og kombiner ens led.

$$16x^{2}-24x+9-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)=24x^{2}-6x-9$$

Subtraher 24x^{2} fra begge sider.

$$16x^{2}-24x+9-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)-24x^{2}=-6x-9$$

Tilføj 6x på begge sider.

$$16x^{2}-24x+9-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)-24x^{2}+6x=-9$$

Tilføj 9 på begge sider.

$$16x^{2}-24x+9-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)-24x^{2}+6x+9=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -10 med 2x+1.

$$16x^{2}-24x+9+\left(-20x-10\right)\left(2x-1\right)-24x^{2}+6x+9=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -20x-10 med 2x-1, og kombiner ens led.

$$16x^{2}-24x+9-40x^{2}+10-24x^{2}+6x+9=0$$

Kombiner 16x^{2} og -40x^{2} for at få -24x^{2}.

$$-24x^{2}-24x+9+10-24x^{2}+6x+9=0$$

Tilføj 9 og 10 for at få 19.

$$-24x^{2}-24x+19-24x^{2}+6x+9=0$$

Kombiner -24x^{2} og -24x^{2} for at få -48x^{2}.

$$-48x^{2}-24x+19+6x+9=0$$

Kombiner -24x og 6x for at få -18x.

$$-48x^{2}-18x+19+9=0$$

Tilføj 19 og 9 for at få 28.

$$-48x^{2}-18x+28=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -48 med a, -18 med b og 28 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\left(-48\right)\times 28}}{2\left(-48\right)}$$

Kvadrér -18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\left(-48\right)\times 28}}{2\left(-48\right)}$$

Multiplicer -4 gange -48.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+192\times 28}}{2\left(-48\right)}$$

Multiplicer 192 gange 28.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+5376}}{2\left(-48\right)}$$

Adder 324 til 5376.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{5700}}{2\left(-48\right)}$$

Tag kvadratroden af 5700.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±10\sqrt{57}}{2\left(-48\right)}$$

Det modsatte af -18 er 18.

$$x=\frac{18±10\sqrt{57}}{2\left(-48\right)}$$

Multiplicer 2 gange -48.

$$x=\frac{18±10\sqrt{57}}{-96}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{18±10\sqrt{57}}{-96} når ± er plus. Adder 18 til 10\sqrt{57}.

$$x=\frac{10\sqrt{57}+18}{-96}$$

Divider 18+10\sqrt{57} med -96.

$$x=-\frac{5\sqrt{57}}{48}-\frac{3}{16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{18±10\sqrt{57}}{-96} når ± er minus. Subtraher 10\sqrt{57} fra 18.

$$x=\frac{18-10\sqrt{57}}{-96}$$

Divider 18-10\sqrt{57} med -96.

$$x=\frac{5\sqrt{57}}{48}-\frac{3}{16}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{5\sqrt{57}}{48}-\frac{3}{16} x=\frac{5\sqrt{57}}{48}-\frac{3}{16}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -\frac{1}{2},\frac{3}{4}, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(4x-3\right)\left(2x+1\right), det mindste fælles multiplum af 2x+1,4x-3.

$$\left(4x-3\right)\left(4x-3\right)-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)=3\left(4x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Multiplicer 4x-3 og 4x-3 for at få \left(4x-3\right)^{2}.

$$\left(4x-3\right)^{2}-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)=3\left(4x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(4x-3\right)^{2}.

$$16x^{2}-24x+9-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)=3\left(4x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3 med 4x-3.

$$16x^{2}-24x+9-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)=\left(12x-9\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 12x-9 med 2x+1, og kombiner ens led.

$$16x^{2}-24x+9-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)=24x^{2}-6x-9$$

Subtraher 24x^{2} fra begge sider.

$$16x^{2}-24x+9-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)-24x^{2}=-6x-9$$

Tilføj 6x på begge sider.

$$16x^{2}-24x+9-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)-24x^{2}+6x=-9$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -10 med 2x+1.

$$16x^{2}-24x+9+\left(-20x-10\right)\left(2x-1\right)-24x^{2}+6x=-9$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -20x-10 med 2x-1, og kombiner ens led.

$$16x^{2}-24x+9-40x^{2}+10-24x^{2}+6x=-9$$

Kombiner 16x^{2} og -40x^{2} for at få -24x^{2}.

$$-24x^{2}-24x+9+10-24x^{2}+6x=-9$$

Tilføj 9 og 10 for at få 19.

$$-24x^{2}-24x+19-24x^{2}+6x=-9$$

Kombiner -24x^{2} og -24x^{2} for at få -48x^{2}.

$$-48x^{2}-24x+19+6x=-9$$

Kombiner -24x og 6x for at få -18x.

$$-48x^{2}-18x+19=-9$$

Subtraher 19 fra begge sider.

$$-48x^{2}-18x=-9-19$$

Subtraher 19 fra -9 for at få -28.

$$-48x^{2}-18x=-28$$

Divider begge sider med -48.

$$\frac{-48x^{2}-18x}{-48}=-\frac{28}{-48}$$

Division med -48 annullerer multiplikationen med -48.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{-48}\right)x=-\frac{28}{-48}$$

Reducer fraktionen \frac{-18}{-48} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x^{2}+\frac{3}{8}x=-\frac{28}{-48}$$

Reducer fraktionen \frac{-28}{-48} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x^{2}+\frac{3}{8}x=\frac{7}{12}$$

Divider \frac{3}{8}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{16}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{16} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{8}x+\left(\frac{3}{16}\right)^{2}=\frac{7}{12}+\left(\frac{3}{16}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{16} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{3}{8}x+\frac{9}{256}=\frac{7}{12}+\frac{9}{256}$$

Føj \frac{7}{12} til \frac{9}{256} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{3}{8}x+\frac{9}{256}=\frac{475}{768}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{8}x+\frac{9}{256}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{16}\right)^{2}=\frac{475}{768}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{475}{768}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{16}=\frac{5\sqrt{57}}{48} x+\frac{3}{16}=-\frac{5\sqrt{57}}{48}$$

Subtraher \frac{3}{16} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5\sqrt{57}}{48}-\frac{3}{16} x=-\frac{5\sqrt{57}}{48}-\frac{3}{16}$$