Løs 3/2-sqrt{3}+4/sqrt{3+1}

$$\frac{ 3 }{ 2- \sqrt{ 3 } } + \frac{ 4 }{ \sqrt{ 3 } +1 }$$

Evaluer

$$5\sqrt{3}+4\approx 12,660254038$$

Løsningsvejledning

Rationaliser \frac{3}{2-\sqrt{3}} ved at multiplicere tælleren og nævneren med 2+\sqrt{3}.

$$\frac{3\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}+\frac{4}{\sqrt{3}+1}$$

Overvej \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{3\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{4}{\sqrt{3}+1}$$

Kvadrér 2. Kvadrér \sqrt{3}.

$$\frac{3\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}+\frac{4}{\sqrt{3}+1}$$

Subtraher 3 fra 4 for at få 1.

$$\frac{3\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}+\frac{4}{\sqrt{3}+1}$$

Hvad som helst divideret med én er lig med sig selv.

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+\frac{4}{\sqrt{3}+1}$$

Rationaliser \frac{4}{\sqrt{3}+1} ved at multiplicere tælleren og nævneren med \sqrt{3}-1.

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+\frac{4\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}$$

Overvej \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+\frac{4\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}$$

Kvadrér \sqrt{3}. Kvadrér 1.

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+\frac{4\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}$$

Subtraher 1 fra 3 for at få 2.

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+\frac{4\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}$$

Divider 4\left(\sqrt{3}-1\right) med 2 for at få 2\left(\sqrt{3}-1\right).

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+2\left(\sqrt{3}-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3 med 2+\sqrt{3}.

$$6+3\sqrt{3}+2\left(\sqrt{3}-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med \sqrt{3}-1.

$$6+3\sqrt{3}+2\sqrt{3}-2$$

Kombiner 3\sqrt{3} og 2\sqrt{3} for at få 5\sqrt{3}.

$$6+5\sqrt{3}-2$$

Subtraher 2 fra 6 for at få 4.

$$4+5\sqrt{3}$$