Løs 3/x^2-4+2/x+2=1

$$\frac{ 3 }{ { x }^{ 2 } -4 } + \frac{ 2 }{ x+2 } =1$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x=3$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-2\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x^{2}-4,x+2.

$$3+\left(x-2\right)\times 2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med 2.

$$3+2x-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Subtraher 4 fra 3 for at få -1.

$$-1+2x=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Overvej \left(x-2\right)\left(x+2\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 2.

$$-1+2x=x^{2}-4$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$-1+2x-x^{2}=-4$$

Tilføj 4 på begge sider.

$$-1+2x-x^{2}+4=0$$

Tilføj -1 og 4 for at få 3.

$$3+2x-x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-x^{2}+2x+3=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx+3. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=2 ab=-3=-3$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=3 b=-1$$

Omskriv -x^{2}+2x+3 som \left(-x^{2}+3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-x+3\right)$$

Ud-x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$-x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-3\right)\left(-x-1\right)$$

Løs x-3=0 og -x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=3 x=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-2\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x^{2}-4,x+2.

$$3+\left(x-2\right)\times 2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med 2.

$$3+2x-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Subtraher 4 fra 3 for at få -1.

$$-1+2x=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Overvej \left(x-2\right)\left(x+2\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 2.

$$-1+2x=x^{2}-4$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$-1+2x-x^{2}=-4$$

Tilføj 4 på begge sider.

$$-1+2x-x^{2}+4=0$$

Tilføj -1 og 4 for at få 3.

$$3+2x-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+2x+3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 2 med b og 3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 4 til 12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{16}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 16.

$$x=\frac{-2±4}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-2±4}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±4}{-2} når ± er plus. Adder -2 til 4.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Divider 2 med -2.

$$x=-1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±4}{-2} når ± er minus. Subtraher 4 fra -2.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Divider -6 med -2.

$$x=3$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-1 x=3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-2\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x^{2}-4,x+2.

$$3+\left(x-2\right)\times 2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med 2.

$$3+2x-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Subtraher 4 fra 3 for at få -1.

$$-1+2x=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Overvej \left(x-2\right)\left(x+2\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 2.

$$-1+2x=x^{2}-4$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$-1+2x-x^{2}=-4$$

Tilføj 1 på begge sider.

$$2x-x^{2}=-4+1$$

Tilføj -4 og 1 for at få -3.

$$2x-x^{2}=-3$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+2x=-3$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{3}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{3}{-1}$$

Divider 2 med -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{3}{-1}$$

Divider -3 med -1.

$$x^{2}-2x=3$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

Adder 3 til 1.

$$x^{2}-2x+1=4$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Forenkling.

$$x-1=2 x-1=-2$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x=3 x=-1$$