Løs 20/x-5=60/x+5+1

$$\frac{ 20 }{ x-5 } = \frac{ 60 }{ x+5 } +1$$

Løs for x

$$x=5\sqrt{33}-20\approx 8,722813233$$

$$x=-5\sqrt{33}-20\approx -48,722813233$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -5,5, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-5\right)\left(x+5\right), det mindste fælles multiplum af x-5,x+5.

$$\left(x+5\right)\times 20=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+5 med 20.

$$20x+100=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-5 med 60.

$$20x+100=60x-300+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Overvej \left(x-5\right)\left(x+5\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 5.

$$20x+100=60x-300+x^{2}-25$$

Subtraher 25 fra -300 for at få -325.

$$20x+100=60x-325+x^{2}$$

Subtraher 60x fra begge sider.

$$20x+100-60x=-325+x^{2}$$

Kombiner 20x og -60x for at få -40x.

$$-40x+100=-325+x^{2}$$

Subtraher -325 fra begge sider.

$$-40x+100-\left(-325\right)=x^{2}$$

Det modsatte af -325 er 325.

$$-40x+100+325=x^{2}$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$-40x+100+325-x^{2}=0$$

Tilføj 100 og 325 for at få 425.

$$-40x+425-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}-40x+425=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, -40 med b og 425 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 425}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\left(-1\right)\times 425}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+4\times 425}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 425.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+1700}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 1600 til 1700.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{3300}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 3300.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10\sqrt{33}}{2\left(-1\right)}$$

Det modsatte af -40 er 40.

$$x=\frac{40±10\sqrt{33}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{40±10\sqrt{33}}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{40±10\sqrt{33}}{-2} når ± er plus. Adder 40 til 10\sqrt{33}.

$$x=\frac{10\sqrt{33}+40}{-2}$$

Divider 40+10\sqrt{33} med -2.

$$x=-5\sqrt{33}-20$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{40±10\sqrt{33}}{-2} når ± er minus. Subtraher 10\sqrt{33} fra 40.

$$x=\frac{40-10\sqrt{33}}{-2}$$

Divider 40-10\sqrt{33} med -2.

$$x=5\sqrt{33}-20$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-5\sqrt{33}-20 x=5\sqrt{33}-20$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -5,5, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-5\right)\left(x+5\right), det mindste fælles multiplum af x-5,x+5.

$$\left(x+5\right)\times 20=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+5 med 20.

$$20x+100=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-5 med 60.

$$20x+100=60x-300+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Overvej \left(x-5\right)\left(x+5\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 5.

$$20x+100=60x-300+x^{2}-25$$

Subtraher 25 fra -300 for at få -325.

$$20x+100=60x-325+x^{2}$$

Subtraher 60x fra begge sider.

$$20x+100-60x=-325+x^{2}$$

Kombiner 20x og -60x for at få -40x.

$$-40x+100=-325+x^{2}$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$-40x+100-x^{2}=-325$$

Subtraher 100 fra begge sider.

$$-40x-x^{2}=-325-100$$

Subtraher 100 fra -325 for at få -425.

$$-40x-x^{2}=-425$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}-40x=-425$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}-40x}{-1}=-\frac{425}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{-1}\right)x=-\frac{425}{-1}$$

Divider -40 med -1.

$$x^{2}+40x=-\frac{425}{-1}$$

Divider -425 med -1.

$$x^{2}+40x=425$$

Divider 40, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 20. Adder derefter kvadratet af 20 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+40x+20^{2}=425+20^{2}$$

Kvadrér 20.

$$x^{2}+40x+400=425+400$$

Adder 425 til 400.

$$x^{2}+40x+400=825$$

Faktoriser x^{2}+40x+400. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+20\right)^{2}=825$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+20\right)^{2}}=\sqrt{825}$$

Forenkling.

$$x+20=5\sqrt{33} x+20=-5\sqrt{33}$$

Subtraher 20 fra begge sider af ligningen.

$$x=5\sqrt{33}-20 x=-5\sqrt{33}-20$$