Løs 2-x/x+2=x+3/3-x+6

$$\frac{ 2-x }{ x+2 } = \frac{ x+3 }{ 3-x } +6$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{70} + 4}{3} \approx 4,122200088$$

$$x=\frac{4-\sqrt{70}}{3}\approx -1,455533422$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,3, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-3\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x+2,3-x.

$$\left(x-3\right)\left(2-x\right)=-\left(2+x\right)\left(x+3\right)+\left(x-3\right)\left(x+2\right)\times 6$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-3 med 2-x, og kombiner ens led.

$$5x-x^{2}-6=-\left(2+x\right)\left(x+3\right)+\left(x-3\right)\left(x+2\right)\times 6$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -1 med 2+x.

$$5x-x^{2}-6=\left(-2-x\right)\left(x+3\right)+\left(x-3\right)\left(x+2\right)\times 6$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -2-x med x+3, og kombiner ens led.

$$5x-x^{2}-6=-5x-6-x^{2}+\left(x-3\right)\left(x+2\right)\times 6$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-3 med x+2, og kombiner ens led.

$$5x-x^{2}-6=-5x-6-x^{2}+\left(x^{2}-x-6\right)\times 6$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}-x-6 med 6.

$$5x-x^{2}-6=-5x-6-x^{2}+6x^{2}-6x-36$$

Kombiner -x^{2} og 6x^{2} for at få 5x^{2}.

$$5x-x^{2}-6=-5x-6+5x^{2}-6x-36$$

Kombiner -5x og -6x for at få -11x.

$$5x-x^{2}-6=-11x-6+5x^{2}-36$$

Subtraher 36 fra -6 for at få -42.

$$5x-x^{2}-6=-11x-42+5x^{2}$$

Tilføj 11x på begge sider.

$$5x-x^{2}-6+11x=-42+5x^{2}$$

Kombiner 5x og 11x for at få 16x.

$$16x-x^{2}-6=-42+5x^{2}$$

Subtraher -42 fra begge sider.

$$16x-x^{2}-6-\left(-42\right)=5x^{2}$$

Det modsatte af -42 er 42.

$$16x-x^{2}-6+42=5x^{2}$$

Subtraher 5x^{2} fra begge sider.

$$16x-x^{2}-6+42-5x^{2}=0$$

Tilføj -6 og 42 for at få 36.

$$16x-x^{2}+36-5x^{2}=0$$

Kombiner -x^{2} og -5x^{2} for at få -6x^{2}.

$$16x-6x^{2}+36=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-6x^{2}+16x+36=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -6 med a, 16 med b og 36 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-6\right)\times 36}}{2\left(-6\right)}$$

Kvadrér 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-6\right)\times 36}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplicer -4 gange -6.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+24\times 36}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplicer 24 gange 36.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+864}}{2\left(-6\right)}$$

Adder 256 til 864.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1120}}{2\left(-6\right)}$$

Tag kvadratroden af 1120.

$$x=\frac{-16±4\sqrt{70}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplicer 2 gange -6.

$$x=\frac{-16±4\sqrt{70}}{-12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-16±4\sqrt{70}}{-12} når ± er plus. Adder -16 til 4\sqrt{70}.

$$x=\frac{4\sqrt{70}-16}{-12}$$

Divider -16+4\sqrt{70} med -12.

$$x=\frac{4-\sqrt{70}}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-16±4\sqrt{70}}{-12} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{70} fra -16.

$$x=\frac{-4\sqrt{70}-16}{-12}$$

Divider -16-4\sqrt{70} med -12.

$$x=\frac{\sqrt{70}+4}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{4-\sqrt{70}}{3} x=\frac{\sqrt{70}+4}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,3, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-3\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x+2,3-x.

$$\left(x-3\right)\left(2-x\right)=-\left(2+x\right)\left(x+3\right)+\left(x-3\right)\left(x+2\right)\times 6$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-3 med 2-x, og kombiner ens led.

$$5x-x^{2}-6=-\left(2+x\right)\left(x+3\right)+\left(x-3\right)\left(x+2\right)\times 6$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -1 med 2+x.

$$5x-x^{2}-6=\left(-2-x\right)\left(x+3\right)+\left(x-3\right)\left(x+2\right)\times 6$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -2-x med x+3, og kombiner ens led.

$$5x-x^{2}-6=-5x-6-x^{2}+\left(x-3\right)\left(x+2\right)\times 6$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-3 med x+2, og kombiner ens led.

$$5x-x^{2}-6=-5x-6-x^{2}+\left(x^{2}-x-6\right)\times 6$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}-x-6 med 6.

$$5x-x^{2}-6=-5x-6-x^{2}+6x^{2}-6x-36$$

Kombiner -x^{2} og 6x^{2} for at få 5x^{2}.

$$5x-x^{2}-6=-5x-6+5x^{2}-6x-36$$

Kombiner -5x og -6x for at få -11x.

$$5x-x^{2}-6=-11x-6+5x^{2}-36$$

Subtraher 36 fra -6 for at få -42.

$$5x-x^{2}-6=-11x-42+5x^{2}$$

Tilføj 11x på begge sider.

$$5x-x^{2}-6+11x=-42+5x^{2}$$

Kombiner 5x og 11x for at få 16x.

$$16x-x^{2}-6=-42+5x^{2}$$

Subtraher 5x^{2} fra begge sider.

$$16x-x^{2}-6-5x^{2}=-42$$

Kombiner -x^{2} og -5x^{2} for at få -6x^{2}.

$$16x-6x^{2}-6=-42$$

Tilføj 6 på begge sider.

$$16x-6x^{2}=-42+6$$

Tilføj -42 og 6 for at få -36.

$$16x-6x^{2}=-36$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-6x^{2}+16x=-36$$

Divider begge sider med -6.

$$\frac{-6x^{2}+16x}{-6}=-\frac{36}{-6}$$

Division med -6 annullerer multiplikationen med -6.

$$x^{2}+\frac{16}{-6}x=-\frac{36}{-6}$$

Reducer fraktionen \frac{16}{-6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=-\frac{36}{-6}$$

Divider -36 med -6.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=6$$

Divider -\frac{8}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{4}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{4}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=6+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{4}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=6+\frac{16}{9}$$

Adder 6 til \frac{16}{9}.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{70}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{70}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{70}{9}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{70}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{70}}{3}$$

Adder \frac{4}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{70}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{70}}{3}$$