Løs frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

Løs for b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Vejledning i at løse ligninger med rodtegn

Rationaliser \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} ved at multiplicere tælleren og nævneren med 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Overvej \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Kvadrér 2. Kvadrér \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Subtraher 5 fra 4 for at få -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Multiplicer 2+\sqrt{5} og 2+\sqrt{5} for at få \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Kvadratet på \sqrt{5} er 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Tilføj 4 og 5 for at få 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Alt, der divideres med -1, giver det modsatte. For at finde det modsatte af 9+4\sqrt{5} skal du finde det modsatte af hvert led.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Rationaliser \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} ved at multiplicere tælleren og nævneren med 2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Overvej \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

Kvadrér 2. Kvadrér \sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

Subtraher 5 fra 4 for at få -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Multiplicer 2-\sqrt{5} og 2-\sqrt{5} for at få \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Kvadratet på \sqrt{5} er 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Tilføj 4 og 5 for at få 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Alt, der divideres med -1, giver det modsatte. For at finde det modsatte af 9-4\sqrt{5} skal du finde det modsatte af hvert led.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Subtraher 9 fra -9 for at få -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Kombiner -4\sqrt{5} og 4\sqrt{5} for at få 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Skift side, så alle variable led er placeret på venstre side.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Subtraher a fra begge sider.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Løs for a (complex solution)

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

Løs for b (complex solution)

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$arg(\frac{-a-18}{5})<\pi \text{ or }a=-18$$

Løs for a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$