Løs frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

Evaluer

$$8\sqrt{3}\approx 13,856406461$$

Løsningsvejledning

Rationaliser \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} ved at multiplicere tælleren og nævneren med 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Overvej \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Kvadrér 2. Kvadrér \sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Subtraher 3 fra 4 for at få 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Hvad som helst divideret med én er lig med sig selv.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Multiplicer 2+\sqrt{3} og 2+\sqrt{3} for at få \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Rationaliser \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} ved at multiplicere tælleren og nævneren med 2-\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

Overvej \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kvadrér 2. Kvadrér \sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

Subtraher 3 fra 4 for at få 1.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

Hvad som helst divideret med én er lig med sig selv.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

Multiplicer 2-\sqrt{3} og 2-\sqrt{3} for at få \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Tilføj 4 og 3 for at få 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

Tilføj 4 og 3 for at få 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

For at finde det modsatte af 7-4\sqrt{3} skal du finde det modsatte af hvert led.

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

Det modsatte af -4\sqrt{3} er 4\sqrt{3}.

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

Subtraher 7 fra 7 for at få 0.

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

Kombiner 4\sqrt{3} og 4\sqrt{3} for at få 8\sqrt{3}.

$$8\sqrt{3}$$