Løs 2/x-3+3/x-2=3

$$\frac{ 2 }{ x-3 } + \frac{ 3 }{ x-2 } =3$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{7} + 10}{3} \approx 4,215250437$$

$$x = \frac{10 - \sqrt{7}}{3} \approx 2,45141623$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 2,3, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-3\right)\left(x-2\right), det mindste fælles multiplum af x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-3 med 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Kombiner 2x og 3x for at få 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Subtraher 9 fra -4 for at få -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3 med x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x-9 med x-2, og kombiner ens led.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Tilføj 15x på begge sider.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Kombiner 5x og 15x for at få 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Subtraher 18 fra begge sider.

$$20x-13-3x^{2}-18=0$$

Subtraher 18 fra -13 for at få -31.

$$20x-31-3x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-3x^{2}+20x-31=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -3 med a, 20 med b og -31 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrér 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer -4 gange -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+12\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 12 gange -31.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-372}}{2\left(-3\right)}$$

Adder 400 til -372.

$$x=\frac{-20±\sqrt{28}}{2\left(-3\right)}$$

Tag kvadratroden af 28.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6} når ± er plus. Adder -20 til 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Divider -20+2\sqrt{7} med -6.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{7} fra -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Divider -20-2\sqrt{7} med -6.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3} x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 2,3, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-3\right)\left(x-2\right), det mindste fælles multiplum af x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-3 med 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Kombiner 2x og 3x for at få 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Subtraher 9 fra -4 for at få -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3 med x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x-9 med x-2, og kombiner ens led.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Tilføj 15x på begge sider.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Kombiner 5x og 15x for at få 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Tilføj 13 på begge sider.

$$20x-3x^{2}=18+13$$

Tilføj 18 og 13 for at få 31.

$$20x-3x^{2}=31$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-3x^{2}+20x=31$$

Divider begge sider med -3.

$$\frac{-3x^{2}+20x}{-3}=\frac{31}{-3}$$

Division med -3 annullerer multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{20}{-3}x=\frac{31}{-3}$$

Divider 20 med -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{31}{-3}$$

Divider 31 med -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{31}{3}$$

Divider -\frac{20}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{10}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{10}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{31}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{10}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{31}{3}+\frac{100}{9}$$

Føj -\frac{31}{3} til \frac{100}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{7}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Adder \frac{10}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$