Løs 1/9x^2+x+9/4=0

$$\frac{ 1 }{ 9 } { x }^{ 2 } +x+ \frac{ 9 }{ 4 } =0$$

Løs for x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$\frac{1}{9}x^{2}+x+\frac{9}{4}=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat \frac{1}{9} med a, 1 med b og \frac{9}{4} med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times \frac{1}{9}\times \frac{9}{4}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Kvadrér 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times \frac{1}{9}\times \frac{9}{4}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Multiplicer -4 gange \frac{1}{9}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-\frac{4}{9}\times \frac{9}{4}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Multiplicer -\frac{4}{9} gange \frac{9}{4} ved at multiplicere tæller gange tæller og nævner gange nævner. Reducer derefter brøken til de laveste mulige led, hvis det er muligt.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-1}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Adder 1 til -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{0}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Tag kvadratroden af 0.

$$x=-\frac{1}{2\times \frac{1}{9}}$$

Multiplicer 2 gange \frac{1}{9}.

$$x=-\frac{1}{\frac{2}{9}}$$

Divider -1 med \frac{2}{9} ved at multiplicere -1 med den reciprokke værdi af \frac{2}{9}.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$\frac{1}{9}x^{2}+x+\frac{9}{4}=0$$

Subtraher \frac{9}{4} fra begge sider af ligningen.

$$\frac{1}{9}x^{2}+x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}=-\frac{9}{4}$$

Hvis \frac{9}{4} subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Multiplicer begge sider med 9.

$$\frac{\frac{1}{9}x^{2}+x}{\frac{1}{9}}=-\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{9}}$$

Division med \frac{1}{9} annullerer multiplikationen med \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{1}{\frac{1}{9}}x=-\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{9}}$$

Divider 1 med \frac{1}{9} ved at multiplicere 1 med den reciprokke værdi af \frac{1}{9}.

$$x^{2}+9x=-\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{9}}$$

Divider -\frac{9}{4} med \frac{1}{9} ved at multiplicere -\frac{9}{4} med den reciprokke værdi af \frac{1}{9}.

$$x^{2}+9x=-\frac{81}{4}$$

Divider 9, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{9}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{9}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+9x+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=-\frac{81}{4}+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{9}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=\frac{-81+81}{4}$$

Føj -\frac{81}{4} til \frac{81}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=0$$

Faktor x^{2}+9x+\frac{81}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}=0$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkling.

$$x+\frac{9}{2}=0 x+\frac{9}{2}=0$$

Subtraher \frac{9}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=-\frac{9}{2} x=-\frac{9}{2}$$

Ligningen er nu løst. Løsningerne er de samme.

$$x=-\frac{9}{2}$$