Løs 1/6left(4x+5right)-2/3left(2x+7right)=3/2

$$\frac{ 1 }{ 6 } \left( 4x+5 \right) \frac{ -2 }{ 3 } \left( 2x+7 \right) = \frac{ 3 }{ 2 }$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-19+3\sqrt{3}i}{8}\approx -2,375+0,649519053i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-19}{8}\approx -2,375-0,649519053i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brøken \frac{-2}{3} kan omskrives som -\frac{2}{3} ved at fratrække det negative fortegn.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

Multiplicer \frac{1}{6} og -\frac{2}{3} for at få -\frac{1}{9}.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -\frac{1}{9} med 4x+5.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} med 2x+7, og kombiner ens led.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=\frac{3}{2}$$

Subtraher \frac{3}{2} fra begge sider.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}-\frac{3}{2}=0$$

Subtraher \frac{3}{2} fra -\frac{35}{9} for at få -\frac{97}{18}.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{97}{18}=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -\frac{8}{9} med a, -\frac{38}{9} med b og -\frac{97}{18} med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{38}{9}\right)^{2}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{97}{18}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Du kan kvadrere -\frac{38}{9} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{97}{18}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Multiplicer -4 gange -\frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}+\frac{32}{9}\left(-\frac{97}{18}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Multiplicer \frac{32}{9} gange -\frac{97}{18} ved at multiplicere tæller gange tæller og nævner gange nævner. Reducer derefter brøken til de laveste mulige led, hvis det er muligt.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444-1552}{81}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Føj \frac{1444}{81} til -\frac{1552}{81} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{-\frac{4}{3}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Tag kvadratroden af -\frac{4}{3}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\frac{2\sqrt{3}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Det modsatte af -\frac{38}{9} er \frac{38}{9}.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{3}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Multiplicer 2 gange -\frac{8}{9}.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{3}i}{3}}{-\frac{16}{9}}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{3}i}{3}}{-\frac{16}{9}} når ± er plus. Adder \frac{38}{9} til \frac{2i\sqrt{3}}{3}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{3}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

Divider \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{3}}{3} med -\frac{16}{9} ved at multiplicere \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{3}}{3} med den reciprokke værdi af -\frac{16}{9}.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-19}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{3}i}{3}}{-\frac{16}{9}} når ± er minus. Subtraher \frac{2i\sqrt{3}}{3} fra \frac{38}{9}.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{3}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

Divider \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{3}}{3} med -\frac{16}{9} ved at multiplicere \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{3}}{3} med den reciprokke værdi af -\frac{16}{9}.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{3}i}{8}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-19}{8} x=\frac{-19+3\sqrt{3}i}{8}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brøken \frac{-2}{3} kan omskrives som -\frac{2}{3} ved at fratrække det negative fortegn.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

Multiplicer \frac{1}{6} og -\frac{2}{3} for at få -\frac{1}{9}.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -\frac{1}{9} med 4x+5.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} med 2x+7, og kombiner ens led.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=\frac{3}{2}$$

Tilføj \frac{35}{9} på begge sider.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=\frac{3}{2}+\frac{35}{9}$$

Tilføj \frac{3}{2} og \frac{35}{9} for at få \frac{97}{18}.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=\frac{97}{18}$$

Divider begge sider af ligningen med -\frac{8}{9}, hvilket er det samme som at multiplicere begge sider med den reciprokke værdi af brøken.

$$\frac{-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x}{-\frac{8}{9}}=\frac{\frac{97}{18}}{-\frac{8}{9}}$$

Division med -\frac{8}{9} annullerer multiplikationen med -\frac{8}{9}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{38}{9}}{-\frac{8}{9}}\right)x=\frac{\frac{97}{18}}{-\frac{8}{9}}$$

Divider -\frac{38}{9} med -\frac{8}{9} ved at multiplicere -\frac{38}{9} med den reciprokke værdi af -\frac{8}{9}.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=\frac{\frac{97}{18}}{-\frac{8}{9}}$$

Divider \frac{97}{18} med -\frac{8}{9} ved at multiplicere \frac{97}{18} med den reciprokke værdi af -\frac{8}{9}.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=-\frac{97}{16}$$

Divider \frac{19}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{19}{8}. Adder derefter kvadratet af \frac{19}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{97}{16}+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{19}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{97}{16}+\frac{361}{64}$$

Føj -\frac{97}{16} til \frac{361}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{27}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{27}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{27}{64}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{19}{8}=\frac{3\sqrt{3}i}{8} x+\frac{19}{8}=-\frac{3\sqrt{3}i}{8}$$

Subtraher \frac{19}{8} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{3}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{3}i-19}{8}$$