Løs 1/4x^2-20x+25+121/4x^2+20x+25=22/4x^2-25

$$\frac{ 1 }{ 4 { x }^{ 2 } -20x+25 } + \frac{ 121 }{ 4 { x }^{ 2 } +20x+25 } = \frac{ 22 }{ 4 { x }^{ 2 } -25 }$$

Løs for x

$$x=3$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -\frac{5}{2},\frac{5}{2}, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(2x-5\right)^{2}\left(2x+5\right)^{2}, det mindste fælles multiplum af 4x^{2}-20x+25,4x^{2}+20x+25,4x^{2}-25.

$$\left(2x+5\right)^{2}+\left(2x-5\right)^{2}\times 121=\left(4x^{2}-25\right)\times 22$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25+\left(2x-5\right)^{2}\times 121=\left(4x^{2}-25\right)\times 22$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(2x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25+\left(4x^{2}-20x+25\right)\times 121=\left(4x^{2}-25\right)\times 22$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4x^{2}-20x+25 med 121.

$$4x^{2}+20x+25+484x^{2}-2420x+3025=\left(4x^{2}-25\right)\times 22$$

Kombiner 4x^{2} og 484x^{2} for at få 488x^{2}.

$$488x^{2}+20x+25-2420x+3025=\left(4x^{2}-25\right)\times 22$$

Kombiner 20x og -2420x for at få -2400x.

$$488x^{2}-2400x+25+3025=\left(4x^{2}-25\right)\times 22$$

Tilføj 25 og 3025 for at få 3050.

$$488x^{2}-2400x+3050=\left(4x^{2}-25\right)\times 22$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4x^{2}-25 med 22.

$$488x^{2}-2400x+3050=88x^{2}-550$$

Subtraher 88x^{2} fra begge sider.

$$488x^{2}-2400x+3050-88x^{2}=-550$$

Kombiner 488x^{2} og -88x^{2} for at få 400x^{2}.

$$400x^{2}-2400x+3050=-550$$

Tilføj 550 på begge sider.

$$400x^{2}-2400x+3050+550=0$$

Tilføj 3050 og 550 for at få 3600.

$$400x^{2}-2400x+3600=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 400 med a, -2400 med b og 3600 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2400\right)±\sqrt{\left(-2400\right)^{2}-4\times 400\times 3600}}{2\times 400}$$

Kvadrér -2400.

$$x=\frac{-\left(-2400\right)±\sqrt{5760000-4\times 400\times 3600}}{2\times 400}$$

Multiplicer -4 gange 400.

$$x=\frac{-\left(-2400\right)±\sqrt{5760000-1600\times 3600}}{2\times 400}$$

Multiplicer -1600 gange 3600.

$$x=\frac{-\left(-2400\right)±\sqrt{5760000-5760000}}{2\times 400}$$

Adder 5760000 til -5760000.

$$x=\frac{-\left(-2400\right)±\sqrt{0}}{2\times 400}$$

Tag kvadratroden af 0.

$$x=-\frac{-2400}{2\times 400}$$

Det modsatte af -2400 er 2400.

$$x=\frac{2400}{2\times 400}$$

Multiplicer 2 gange 400.

$$x=\frac{2400}{800}$$

Divider 2400 med 800.

$$x=3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -\frac{5}{2},\frac{5}{2}, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(2x-5\right)^{2}\left(2x+5\right)^{2}, det mindste fælles multiplum af 4x^{2}-20x+25,4x^{2}+20x+25,4x^{2}-25.

$$\left(2x+5\right)^{2}+\left(2x-5\right)^{2}\times 121=\left(4x^{2}-25\right)\times 22$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25+\left(2x-5\right)^{2}\times 121=\left(4x^{2}-25\right)\times 22$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(2x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25+\left(4x^{2}-20x+25\right)\times 121=\left(4x^{2}-25\right)\times 22$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4x^{2}-20x+25 med 121.

$$4x^{2}+20x+25+484x^{2}-2420x+3025=\left(4x^{2}-25\right)\times 22$$

Kombiner 4x^{2} og 484x^{2} for at få 488x^{2}.

$$488x^{2}+20x+25-2420x+3025=\left(4x^{2}-25\right)\times 22$$

Kombiner 20x og -2420x for at få -2400x.

$$488x^{2}-2400x+25+3025=\left(4x^{2}-25\right)\times 22$$

Tilføj 25 og 3025 for at få 3050.

$$488x^{2}-2400x+3050=\left(4x^{2}-25\right)\times 22$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4x^{2}-25 med 22.

$$488x^{2}-2400x+3050=88x^{2}-550$$

Subtraher 88x^{2} fra begge sider.

$$488x^{2}-2400x+3050-88x^{2}=-550$$

Kombiner 488x^{2} og -88x^{2} for at få 400x^{2}.

$$400x^{2}-2400x+3050=-550$$

Subtraher 3050 fra begge sider.

$$400x^{2}-2400x=-550-3050$$

Subtraher 3050 fra -550 for at få -3600.

$$400x^{2}-2400x=-3600$$

Divider begge sider med 400.

$$\frac{400x^{2}-2400x}{400}=-\frac{3600}{400}$$

Division med 400 annullerer multiplikationen med 400.

$$x^{2}+\left(-\frac{2400}{400}\right)x=-\frac{3600}{400}$$

Divider -2400 med 400.

$$x^{2}-6x=-\frac{3600}{400}$$

Divider -3600 med 400.

$$x^{2}-6x=-9$$

Divider -6, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -3. Adder derefter kvadratet af -3 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrér -3.

$$x^{2}-6x+9=-9+9$$

Adder -9 til 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Faktor x^{2}-6x+9. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkling.

$$x-3=0 x-3=0$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$x=3 x=3$$

Ligningen er nu løst. Løsningerne er de samme.

$$x=3$$