Løs x^2-5x+6/x^2-7x+12=2

$$\frac{ { x }^{ 2 } -5x+6 }{ { x }^{ 2 } -7x+12 } =2$$

Løs for x

$$x=6$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 3,4, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med \left(x-4\right)\left(x-3\right).

$$x^{2}-5x+6=2\left(x-4\right)\left(x-3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med x-4.

$$x^{2}-5x+6=\left(2x-8\right)\left(x-3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x-8 med x-3, og kombiner ens led.

$$x^{2}-5x+6=2x^{2}-14x+24$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}-5x+6-2x^{2}=-14x+24$$

Kombiner x^{2} og -2x^{2} for at få -x^{2}.

$$-x^{2}-5x+6=-14x+24$$

Tilføj 14x på begge sider.

$$-x^{2}-5x+6+14x=24$$

Kombiner -5x og 14x for at få 9x.

$$-x^{2}+9x+6=24$$

Subtraher 24 fra begge sider.

$$-x^{2}+9x+6-24=0$$

Subtraher 24 fra 6 for at få -18.

$$-x^{2}+9x-18=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx-18. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=9 ab=-\left(-18\right)=18$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

Løsningen er det par, der får summen 9.

$$a=6 b=3$$

Omskriv -x^{2}+9x-18 som \left(-x^{2}+6x\right)+\left(3x-18\right).

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(3x-18\right)$$

Ud-x i den første og 3 i den anden gruppe.

$$-x\left(x-6\right)+3\left(x-6\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-6 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-6\right)\left(-x+3\right)$$

Løs x-6=0 og -x+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=6 x=3$$

Variablen x må ikke være lig med 3.

$$x=6$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 3,4, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med \left(x-4\right)\left(x-3\right).

$$x^{2}-5x+6=2\left(x-4\right)\left(x-3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med x-4.

$$x^{2}-5x+6=\left(2x-8\right)\left(x-3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x-8 med x-3, og kombiner ens led.

$$x^{2}-5x+6=2x^{2}-14x+24$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}-5x+6-2x^{2}=-14x+24$$

Kombiner x^{2} og -2x^{2} for at få -x^{2}.

$$-x^{2}-5x+6=-14x+24$$

Tilføj 14x på begge sider.

$$-x^{2}-5x+6+14x=24$$

Kombiner -5x og 14x for at få 9x.

$$-x^{2}+9x+6=24$$

Subtraher 24 fra begge sider.

$$-x^{2}+9x+6-24=0$$

Subtraher 24 fra 6 for at få -18.

$$-x^{2}+9x-18=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 9 med b og -18 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-1\right)\left(-18\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-1\right)\left(-18\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+4\left(-18\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -18.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 81 til -72.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 9.

$$x=\frac{-9±3}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-9±3}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±3}{-2} når ± er plus. Adder -9 til 3.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Divider -6 med -2.

$$x=3$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±3}{-2} når ± er minus. Subtraher 3 fra -9.

$$x=-\frac{12}{-2}$$

Divider -12 med -2.

$$x=6$$

Ligningen er nu løst.

$$x=3 x=6$$

Variablen x må ikke være lig med 3.

$$x=6$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 3,4, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med \left(x-4\right)\left(x-3\right).

$$x^{2}-5x+6=2\left(x-4\right)\left(x-3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med x-4.

$$x^{2}-5x+6=\left(2x-8\right)\left(x-3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x-8 med x-3, og kombiner ens led.

$$x^{2}-5x+6=2x^{2}-14x+24$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}-5x+6-2x^{2}=-14x+24$$

Kombiner x^{2} og -2x^{2} for at få -x^{2}.

$$-x^{2}-5x+6=-14x+24$$

Tilføj 14x på begge sider.

$$-x^{2}-5x+6+14x=24$$

Kombiner -5x og 14x for at få 9x.

$$-x^{2}+9x+6=24$$

Subtraher 6 fra begge sider.

$$-x^{2}+9x=24-6$$

Subtraher 6 fra 24 for at få 18.

$$-x^{2}+9x=18$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+9x}{-1}=\frac{18}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{9}{-1}x=\frac{18}{-1}$$

Divider 9 med -1.

$$x^{2}-9x=\frac{18}{-1}$$

Divider 18 med -1.

$$x^{2}-9x=-18$$

Divider -9, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{9}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{9}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-18+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{9}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=-18+\frac{81}{4}$$

Adder -18 til \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor x^{2}-9x+\frac{81}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{3}{2}$$

Adder \frac{9}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=6 x=3$$

Variablen x må ikke være lig med 3.

$$x=6$$