Løs frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1}

$$\frac{ \sqrt{ 3 } -1 }{ \sqrt{ 3 } +1 }$$

Evaluer

$$2-\sqrt{3}\approx 0,267949192$$

Løsningsvejledning

Rationaliser \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} ved at multiplicere tælleren og nævneren med \sqrt{3}-1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}$$

Overvej \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}$$

Kvadrér \sqrt{3}. Kvadrér 1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}$$

Subtraher 1 fra 3 for at få 2.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}$$

Multiplicer \sqrt{3}-1 og \sqrt{3}-1 for at få \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1}{2}$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}$$

Tilføj 3 og 1 for at få 4.

$$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$$

Divider hvert led på 4-2\sqrt{3} med 2 for at få 2-\sqrt{3}.

$$2-\sqrt{3}$$