Løs frac{sqrt{2}left(4-sqrt{2}right)}{2left(sqrt{2}+1right)}

$$\frac{ \sqrt{ 2 } \left( 4- \sqrt{ 2 } \right) }{ 2 \left( \sqrt{ 2 } +1 \right) }$$

Evaluer

$$5-3\sqrt{2}\approx 0,757359313$$

Løsningsvejledning

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere \sqrt{2} med 4-\sqrt{2}.

$$\frac{4\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{2\left(\sqrt{2}+1\right)}$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$\frac{4\sqrt{2}-2}{2\left(\sqrt{2}+1\right)}$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med \sqrt{2}+1.

$$\frac{4\sqrt{2}-2}{2\sqrt{2}+2}$$

Rationaliser \frac{4\sqrt{2}-2}{2\sqrt{2}+2} ved at multiplicere tælleren og nævneren med 2\sqrt{2}-2.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{\left(2\sqrt{2}+2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}$$

Overvej \left(2\sqrt{2}+2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}$$

Udvid \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{4\times 2-2^{2}}$$

Multiplicer 4 og 2 for at få 8.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{8-2^{2}}$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{8-4}$$

Subtraher 4 fra 8 for at få 4.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{4}$$

Anvend fordelingsegenskaben ved at gange hvert led i 4\sqrt{2}-2 med hvert led i 2\sqrt{2}-2.

$$\frac{8\left(\sqrt{2}\right)^{2}-8\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4}{4}$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$\frac{8\times 2-8\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4}{4}$$

Multiplicer 8 og 2 for at få 16.

$$\frac{16-8\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4}{4}$$

Kombiner -8\sqrt{2} og -4\sqrt{2} for at få -12\sqrt{2}.

$$\frac{16-12\sqrt{2}+4}{4}$$

Tilføj 16 og 4 for at få 20.

$$\frac{20-12\sqrt{2}}{4}$$

Divider hvert led på 20-12\sqrt{2} med 4 for at få 5-3\sqrt{2}.

$$5-3\sqrt{2}$$