Løs x-1/2-x=2x+1

$$\frac { x - 1 } { 2 - x } = 2 x + 1$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{7} + 1}{2} \approx 1,822875656$$

$$x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0,822875656$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med 2, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med -x+2.

$$x-1=2x\left(-x+2\right)-x+2$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x med -x+2.

$$x-1=-2x^{2}+4x-x+2$$

Kombiner 4x og -x for at få 3x.

$$x-1=-2x^{2}+3x+2$$

Tilføj 2x^{2} på begge sider.

$$x-1+2x^{2}=3x+2$$

Subtraher 3x fra begge sider.

$$x-1+2x^{2}-3x=2$$

Kombiner x og -3x for at få -2x.

$$-2x-1+2x^{2}=2$$

Subtraher 2 fra begge sider.

$$-2x-1+2x^{2}-2=0$$

Subtraher 2 fra -1 for at få -3.

$$-2x-3+2x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-2x-3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -2 med b og -3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+24}}{2\times 2}$$

Adder 4 til 24.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{28}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 28.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{7}}{4} når ± er plus. Adder 2 til 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+2}{4}$$

Divider 2+2\sqrt{7} med 4.

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{7}}{4} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{7} fra 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{7}}{4}$$

Divider 2-2\sqrt{7} med 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med 2, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med -x+2.

$$x-1=2x\left(-x+2\right)-x+2$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x med -x+2.

$$x-1=-2x^{2}+4x-x+2$$

Kombiner 4x og -x for at få 3x.

$$x-1=-2x^{2}+3x+2$$

Tilføj 2x^{2} på begge sider.

$$x-1+2x^{2}=3x+2$$

Subtraher 3x fra begge sider.

$$x-1+2x^{2}-3x=2$$

Kombiner x og -3x for at få -2x.

$$-2x-1+2x^{2}=2$$

Tilføj 1 på begge sider.

$$-2x+2x^{2}=2+1$$

Tilføj 2 og 1 for at få 3.

$$-2x+2x^{2}=3$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-2x=3$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{3}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{3}{2}$$

Divider -2 med 2.

$$x^{2}-x=\frac{3}{2}$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}+\frac{1}{4}$$

Føj \frac{3}{2} til \frac{1}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{7}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{7}}{2}$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$