Løs x/x-2+4/x-1=5

$$\frac { x } { x - 2 } + \frac { 4 } { x - 1 } = 5$$

Løs for x

$$x=3$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 1,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-2\right)\left(x-1\right), det mindste fælles multiplum af x-2,x-1.

$$\left(x-1\right)x+\left(x-2\right)\times 4=5\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med x.

$$x^{2}-x+\left(x-2\right)\times 4=5\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med 4.

$$x^{2}-x+4x-8=5\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Kombiner -x og 4x for at få 3x.

$$x^{2}+3x-8=5\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5 med x-2.

$$x^{2}+3x-8=\left(5x-10\right)\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5x-10 med x-1, og kombiner ens led.

$$x^{2}+3x-8=5x^{2}-15x+10$$

Subtraher 5x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}+3x-8-5x^{2}=-15x+10$$

Kombiner x^{2} og -5x^{2} for at få -4x^{2}.

$$-4x^{2}+3x-8=-15x+10$$

Tilføj 15x på begge sider.

$$-4x^{2}+3x-8+15x=10$$

Kombiner 3x og 15x for at få 18x.

$$-4x^{2}+18x-8=10$$

Subtraher 10 fra begge sider.

$$-4x^{2}+18x-8-10=0$$

Subtraher 10 fra -8 for at få -18.

$$-4x^{2}+18x-18=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -4 med a, 18 med b og -18 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-4\right)\left(-18\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrér 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-4\right)\left(-18\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer -4 gange -4.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+16\left(-18\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 16 gange -18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-288}}{2\left(-4\right)}$$

Adder 324 til -288.

$$x=\frac{-18±\sqrt{36}}{2\left(-4\right)}$$

Tag kvadratroden af 36.

$$x=\frac{-18±6}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 2 gange -4.

$$x=\frac{-18±6}{-8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-18±6}{-8} når ± er plus. Adder -18 til 6.

$$x=-\frac{12}{-8}$$

Reducer fraktionen \frac{-12}{-8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-18±6}{-8} når ± er minus. Subtraher 6 fra -18.

$$x=-\frac{24}{-8}$$

Divider -24 med -8.

$$x=3$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3}{2} x=3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 1,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-2\right)\left(x-1\right), det mindste fælles multiplum af x-2,x-1.

$$\left(x-1\right)x+\left(x-2\right)\times 4=5\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med x.

$$x^{2}-x+\left(x-2\right)\times 4=5\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med 4.

$$x^{2}-x+4x-8=5\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Kombiner -x og 4x for at få 3x.

$$x^{2}+3x-8=5\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5 med x-2.

$$x^{2}+3x-8=\left(5x-10\right)\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5x-10 med x-1, og kombiner ens led.

$$x^{2}+3x-8=5x^{2}-15x+10$$

Subtraher 5x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}+3x-8-5x^{2}=-15x+10$$

Kombiner x^{2} og -5x^{2} for at få -4x^{2}.

$$-4x^{2}+3x-8=-15x+10$$

Tilføj 15x på begge sider.

$$-4x^{2}+3x-8+15x=10$$

Kombiner 3x og 15x for at få 18x.

$$-4x^{2}+18x-8=10$$

Tilføj 8 på begge sider.

$$-4x^{2}+18x=10+8$$

Tilføj 10 og 8 for at få 18.

$$-4x^{2}+18x=18$$

Divider begge sider med -4.

$$\frac{-4x^{2}+18x}{-4}=\frac{18}{-4}$$

Division med -4 annullerer multiplikationen med -4.

$$x^{2}+\frac{18}{-4}x=\frac{18}{-4}$$

Reducer fraktionen \frac{18}{-4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=\frac{18}{-4}$$

Reducer fraktionen \frac{18}{-4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{9}{2}$$

Divider -\frac{9}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{9}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{9}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{9}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{9}{2}+\frac{81}{16}$$

Føj -\frac{9}{2} til \frac{81}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

Adder \frac{9}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=3 x=\frac{3}{2}$$