Løs x/x-1=8x+1/x-1

$$\frac { x } { x - 1 } = 8 x + \frac { 1 } { x - 1 }$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{8}=0,125$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med 1, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med x-1.

$$x=8x\left(x-1\right)+1$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 8x med x-1.

$$x=8x^{2}-8x+1$$

Subtraher 8x^{2} fra begge sider.

$$x-8x^{2}=-8x+1$$

Tilføj 8x på begge sider.

$$x-8x^{2}+8x=1$$

Kombiner x og 8x for at få 9x.

$$9x-8x^{2}=1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$9x-8x^{2}-1=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-8x^{2}+9x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -8 med a, 9 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-8\right)\left(-1\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Kvadrér 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-8\right)\left(-1\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplicer -4 gange -8.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+32\left(-1\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplicer 32 gange -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-32}}{2\left(-8\right)}$$

Adder 81 til -32.

$$x=\frac{-9±\sqrt{49}}{2\left(-8\right)}$$

Tag kvadratroden af 49.

$$x=\frac{-9±7}{2\left(-8\right)}$$

Multiplicer 2 gange -8.

$$x=\frac{-9±7}{-16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±7}{-16} når ± er plus. Adder -9 til 7.

$$x=-\frac{2}{-16}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{-16} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{1}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±7}{-16} når ± er minus. Subtraher 7 fra -9.

$$x=-\frac{16}{-16}$$

Divider -16 med -16.

$$x=1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{8} x=1$$

Variablen x må ikke være lig med 1.

$$x=\frac{1}{8}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med 1, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med x-1.

$$x=8x\left(x-1\right)+1$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 8x med x-1.

$$x=8x^{2}-8x+1$$

Subtraher 8x^{2} fra begge sider.

$$x-8x^{2}=-8x+1$$

Tilføj 8x på begge sider.

$$x-8x^{2}+8x=1$$

Kombiner x og 8x for at få 9x.

$$9x-8x^{2}=1$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-8x^{2}+9x=1$$

Divider begge sider med -8.

$$\frac{-8x^{2}+9x}{-8}=\frac{1}{-8}$$

Division med -8 annullerer multiplikationen med -8.

$$x^{2}+\frac{9}{-8}x=\frac{1}{-8}$$

Divider 9 med -8.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x=\frac{1}{-8}$$

Divider 1 med -8.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x=-\frac{1}{8}$$

Divider -\frac{9}{8}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{9}{16}. Adder derefter kvadratet af -\frac{9}{16} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\left(-\frac{9}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(-\frac{9}{16}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{9}{16} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}=-\frac{1}{8}+\frac{81}{256}$$

Føj -\frac{1}{8} til \frac{81}{256} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}=\frac{49}{256}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{16}\right)^{2}=\frac{49}{256}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{256}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{9}{16}=\frac{7}{16} x-\frac{9}{16}=-\frac{7}{16}$$

Adder \frac{9}{16} på begge sider af ligningen.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$

Variablen x må ikke være lig med 1.

$$x=\frac{1}{8}$$