Løs x/x-1=3x+1/x-1

$$\frac { x } { x - 1 } = 3 x + \frac { 1 } { x - 1 }$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med 1, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med x-1.

$$x=3x\left(x-1\right)+1$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x med x-1.

$$x=3x^{2}-3x+1$$

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$x-3x^{2}=-3x+1$$

Tilføj 3x på begge sider.

$$x-3x^{2}+3x=1$$

Kombiner x og 3x for at få 4x.

$$4x-3x^{2}=1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$4x-3x^{2}-1=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-3x^{2}+4x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -3 med a, 4 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrér 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer -4 gange -3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 12 gange -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\left(-3\right)}$$

Adder 16 til -12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\left(-3\right)}$$

Tag kvadratroden af 4.

$$x=\frac{-4±2}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$x=\frac{-4±2}{-6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±2}{-6} når ± er plus. Adder -4 til 2.

$$x=-\frac{2}{-6}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{-6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±2}{-6} når ± er minus. Subtraher 2 fra -4.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Divider -6 med -6.

$$x=1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{3} x=1$$

Variablen x må ikke være lig med 1.

$$x=\frac{1}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med 1, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med x-1.

$$x=3x\left(x-1\right)+1$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x med x-1.

$$x=3x^{2}-3x+1$$

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$x-3x^{2}=-3x+1$$

Tilføj 3x på begge sider.

$$x-3x^{2}+3x=1$$

Kombiner x og 3x for at få 4x.

$$4x-3x^{2}=1$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-3x^{2}+4x=1$$

Divider begge sider med -3.

$$\frac{-3x^{2}+4x}{-3}=\frac{1}{-3}$$

Division med -3 annullerer multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{4}{-3}x=\frac{1}{-3}$$

Divider 4 med -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{1}{-3}$$

Divider 1 med -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Divider -\frac{4}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{2}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{2}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{2}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Føj -\frac{1}{3} til \frac{4}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Adder \frac{2}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Variablen x må ikke være lig med 1.

$$x=\frac{1}{3}$$