Løs x/x^2-2x-5/3x^2-12=2/x

$$\frac { x } { x ^ { 2 } - 2 x } - \frac { 5 } { 3 x ^ { 2 } - 12 } = \frac { 2 } { x }$$

Løs for x

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$x=3$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,0,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 3x\left(x-2\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x^{2}-2x,3x^{2}-12,x.

$$\left(3x+6\right)x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x+6 med x.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x^{2}-12 med 2.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=6x^{2}-24$$

Subtraher 6x^{2} fra begge sider.

$$3x^{2}+6x-x\times 5-6x^{2}=-24$$

Kombiner 3x^{2} og -6x^{2} for at få -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5=-24$$

Tilføj 24 på begge sider.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5+24=0$$

Multiplicer -1 og 5 for at få -5.

$$-3x^{2}+6x-5x+24=0$$

Kombiner 6x og -5x for at få x.

$$-3x^{2}+x+24=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -3x^{2}+ax+bx+24. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=1 ab=-3\times 24=-72$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Løsningen er det par, der får summen 1.

$$a=9 b=-8$$

Omskriv -3x^{2}+x+24 som \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-8x+24\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-8x+24\right)$$

Ud3x i den første og 8 i den anden gruppe.

$$3x\left(-x+3\right)+8\left(-x+3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x+3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+8\right)$$

Løs -x+3=0 og 3x+8=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=3 x=-\frac{8}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,0,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 3x\left(x-2\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x^{2}-2x,3x^{2}-12,x.

$$\left(3x+6\right)x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x+6 med x.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x^{2}-12 med 2.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=6x^{2}-24$$

Subtraher 6x^{2} fra begge sider.

$$3x^{2}+6x-x\times 5-6x^{2}=-24$$

Kombiner 3x^{2} og -6x^{2} for at få -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5=-24$$

Tilføj 24 på begge sider.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5+24=0$$

Multiplicer -1 og 5 for at få -5.

$$-3x^{2}+6x-5x+24=0$$

Kombiner 6x og -5x for at få x.

$$-3x^{2}+x+24=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -3 med a, 1 med b og 24 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-3\right)\times 24}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrér 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-3\right)\times 24}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer -4 gange -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+12\times 24}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 12 gange 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\left(-3\right)}$$

Adder 1 til 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\left(-3\right)}$$

Tag kvadratroden af 289.

$$x=\frac{-1±17}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$x=\frac{-1±17}{-6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±17}{-6} når ± er plus. Adder -1 til 17.

$$x=\frac{16}{-6}$$

Reducer fraktionen \frac{16}{-6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±17}{-6} når ± er minus. Subtraher 17 fra -1.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Divider -18 med -6.

$$x=3$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{8}{3} x=3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,0,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 3x\left(x-2\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x^{2}-2x,3x^{2}-12,x.

$$\left(3x+6\right)x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x+6 med x.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x^{2}-12 med 2.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=6x^{2}-24$$

Subtraher 6x^{2} fra begge sider.

$$3x^{2}+6x-x\times 5-6x^{2}=-24$$

Kombiner 3x^{2} og -6x^{2} for at få -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5=-24$$

Multiplicer -1 og 5 for at få -5.

$$-3x^{2}+6x-5x=-24$$

Kombiner 6x og -5x for at få x.

$$-3x^{2}+x=-24$$

Divider begge sider med -3.

$$\frac{-3x^{2}+x}{-3}=-\frac{24}{-3}$$

Division med -3 annullerer multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{1}{-3}x=-\frac{24}{-3}$$

Divider 1 med -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=-\frac{24}{-3}$$

Divider -24 med -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=8$$

Divider -\frac{1}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{6}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=8+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=8+\frac{1}{36}$$

Adder 8 til \frac{1}{36}.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{289}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{289}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{36}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{17}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{17}{6}$$

Adder \frac{1}{6} på begge sider af ligningen.

$$x=3 x=-\frac{8}{3}$$