Løs x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Løs for x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Vejledning i brug af substitution

Overvej den første ligning. Gang begge sider af ligningen med 21, det mindste fælles multiplum af 7,3.

$$3x+7y=105$$

Overvej den anden ligning. Multiplicer begge sider af ligningen med 14.

$$-x+42y=364$$

Hvis du vil løse et par ligninger ved hjælp af substitution, skal du først løse en af ligningerne for en af variablerne. Derefter skal du substituere resultatet for den pågældende variabel i den anden ligning.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Vælg én af ligningerne, og løs den for x ved at isolere x på venstre side af lighedstegnet.

$$3x+7y=105$$

Subtraher 7y fra begge sider af ligningen.

$$3x=-7y+105$$

Divider begge sider med 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Multiplicer \frac{1}{3} gange -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Substituer -\frac{7y}{3}+35 for x i den anden ligning, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Multiplicer -1 gange -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Adder \frac{7y}{3} til 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Adder 35 på begge sider af ligningen.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Divider begge sider af ligningen med \frac{133}{3}, hvilket er det samme som at multiplicere begge sider med den reciprokke værdi af brøken.

$$y=9$$

Substituer 9 for y i x=-\frac{7}{3}y+35. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for x.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Multiplicer -\frac{7}{3} gange 9.

$$x=-21+35$$

Adder 35 til -21.

$$x=14$$

Systemet er nu løst.

$$x=14,y=9$$

Vejledning i brug af matrixer

Overvej den første ligning. Gang begge sider af ligningen med 21, det mindste fælles multiplum af 7,3.

$$3x+7y=105$$

Overvej den anden ligning. Multiplicer begge sider af ligningen med 14.

$$-x+42y=364$$

Sæt ligningerne i standardformlen, og brug derefter matrixer til at løse ligningssystemet.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Skriv ligningerne i matrixformularen.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Multiplicer venstre side af ligningen med den inverse matrix af \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Produktet af en matrix og dens inverse matrix er identitetsmatrixen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matricerne på venstre side af lighedstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

For matrixen 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)er den inverse matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matrixligningen kan omskrives som et problem med matrixmultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matrixer.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Udtræk matrixelementerne x og y.

$$x=14,y=9$$

Vejledning i brug af eliminering

Overvej den første ligning. Gang begge sider af ligningen med 21, det mindste fælles multiplum af 7,3.

$$3x+7y=105$$

Overvej den anden ligning. Multiplicer begge sider af ligningen med 14.

$$-x+42y=364$$

Koefficienterne for en af variablerne skal være ens i begge ligninger for at kunne løse ligninger ved hjælp af eliminering, så variablen udlignes, når den ene ligning subtraheres fra den anden.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Hvis 3x og -x skal være lig med hinanden, skal du multiplicere alle led på hver side af den første ligning med -1 og alle led på hver side af den anden ligning med 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Forenkling.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Subtraher -3x+126y=1092 fra -3x-7y=-105 ved at subtrahere ens led på begge sider af lighedstegnet.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Adder -3x til 3x. Betalingsbetingelserne -3x og 3x udlignes, og efterlader en ligning med kun én variabel, der kan løses.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Adder -7y til -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Adder -105 til -1092.

$$-133y=-1197$$

Divider begge sider med -133.

$$y=9$$

Substituer 9 for y i -x+42y=364. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for x.

$$-x+42\times 9=364$$

Multiplicer 42 gange 9.

$$-x+378=364$$

Subtraher 378 fra begge sider af ligningen.

$$-x=-14$$

Divider begge sider med -1.

$$x=14$$

Systemet er nu løst.

$$x=14,y=9$$