Løs x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Løs for x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Vejledning i brug af substitution

Overvej den første ligning. Gang begge sider af ligningen med 20, det mindste fælles multiplum af 5,4.

$$4x=5y$$

Divider begge sider med 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Multiplicer \frac{1}{4} gange 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Substituer \frac{5y}{4} for x i den anden ligning, -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Adder -\frac{5y}{4} til y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Multiplicer begge sider med -4.

$$y=12$$

Substituer 12 for y i x=\frac{5}{4}y. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for x.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Multiplicer \frac{5}{4} gange 12.

$$x=15$$

Systemet er nu løst.

$$x=15,y=12$$

Vejledning i brug af matrixer

Overvej den første ligning. Gang begge sider af ligningen med 20, det mindste fælles multiplum af 5,4.

$$4x=5y$$

Subtraher 5y fra begge sider.

$$4x-5y=0$$

Overvej den anden ligning. Multiplicer begge sider af ligningen med 3.

$$y=x-3$$

Subtraher x fra begge sider.

$$y-x=-3$$

Sæt ligningerne i standardformlen, og brug derefter matrixer til at løse ligningssystemet.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Skriv ligningerne i matrixformularen.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplicer venstre side af ligningen med den inverse matrix af \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Produktet af en matrix og dens inverse matrix er identitetsmatrixen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matricerne på venstre side af lighedstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

For matrixen 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)er den inverse matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matrixligningen kan omskrives som et problem med matrixmultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matrixer.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Udtræk matrixelementerne x og y.

$$x=15,y=12$$

Vejledning i brug af eliminering

Overvej den første ligning. Gang begge sider af ligningen med 20, det mindste fælles multiplum af 5,4.

$$4x=5y$$

Subtraher 5y fra begge sider.

$$4x-5y=0$$

Overvej den anden ligning. Multiplicer begge sider af ligningen med 3.

$$y=x-3$$

Subtraher x fra begge sider.

$$y-x=-3$$

Koefficienterne for en af variablerne skal være ens i begge ligninger for at kunne løse ligninger ved hjælp af eliminering, så variablen udlignes, når den ene ligning subtraheres fra den anden.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Hvis 4x og -x skal være lig med hinanden, skal du multiplicere alle led på hver side af den første ligning med -1 og alle led på hver side af den anden ligning med 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Forenkling.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Subtraher -4x+4y=-12 fra -4x+5y=0 ved at subtrahere ens led på begge sider af lighedstegnet.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Adder -4x til 4x. Betalingsbetingelserne -4x og 4x udlignes, og efterlader en ligning med kun én variabel, der kan løses.

$$5y-4y=12$$

Adder 5y til -4y.

$$y=12$$

Substituer 12 for y i -x+y=-3. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for x.

$$-x+12=-3$$

Subtraher 12 fra begge sider af ligningen.

$$-x=-15$$

Divider begge sider med -1.

$$x=15$$

Systemet er nu løst.

$$x=15,y=12$$