Løs x^2-4x-1/(x^2+1)^2=0

$$\frac { x ^ { 2 } - 4 x - 1 } { ( x ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = 0$$

Løs for x

$$x=\sqrt{5}+2\approx 4,236067977$$

$$x=2-\sqrt{5}\approx -0,236067977$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Multiplicer begge sider af ligningen med \left(x^{2}+1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -4 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Kvadrér -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+4}}{2}$$

Adder 16 til 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{20}}{2}$$

Tag kvadratroden af 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{5}}{2}$$

Det modsatte af -4 er 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2} når ± er plus. Adder 4 til 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+4}{2}$$

Divider 4+2\sqrt{5} med 2.

$$x=\sqrt{5}+2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{5} fra 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}$$

Divider 4-2\sqrt{5} med 2.

$$x=2-\sqrt{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Multiplicer begge sider af ligningen med \left(x^{2}+1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Tilføj 1 på begge sider. Ethvert tal plus nul giver tallet selv.

$$x^{2}-4x=1$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=1+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$x^{2}-4x+4=1+4$$

Adder 1 til 4.

$$x^{2}-4x+4=5$$

Faktor x^{2}-4x+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=5$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Forenkling.

$$x-2=\sqrt{5} x-2=-\sqrt{5}$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$