Løs x^2/9-4/3x=-2

$$\frac { x ^ { 2 } } { 9 } - \frac { 4 } { 3 } x = - 2$$

Løs for x

$$x=3\sqrt{2}+6\approx 10,242640687$$

$$x=6-3\sqrt{2}\approx 1,757359313$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=-2-\left(-2\right)$$

Hvis -2 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=0$$

Subtraher -2 fra 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x+2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat \frac{1}{9} med a, -\frac{4}{3} med b og 2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Du kan kvadrere -\frac{4}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Multiplicer -4 gange \frac{1}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{4}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Multiplicer -\frac{4}{9} gange 2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16-8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Føj \frac{16}{9} til -\frac{8}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Tag kvadratroden af \frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Det modsatte af -\frac{4}{3} er \frac{4}{3}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Multiplicer 2 gange \frac{1}{9}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}} når ± er plus. Adder \frac{4}{3} til \frac{2\sqrt{2}}{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+4}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Divider \frac{4+2\sqrt{2}}{3} med \frac{2}{9} ved at multiplicere \frac{4+2\sqrt{2}}{3} med den reciprokke værdi af \frac{2}{9}.

$$x=3\sqrt{2}+6$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}} når ± er minus. Subtraher \frac{2\sqrt{2}}{3} fra \frac{4}{3}.

$$x=\frac{4-2\sqrt{2}}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Divider \frac{4-2\sqrt{2}}{3} med \frac{2}{9} ved at multiplicere \frac{4-2\sqrt{2}}{3} med den reciprokke værdi af \frac{2}{9}.

$$x=6-3\sqrt{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Multiplicer begge sider med 9.

$$\frac{\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x}{\frac{1}{9}}=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Division med \frac{1}{9} annullerer multiplikationen med \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{9}}\right)x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Divider -\frac{4}{3} med \frac{1}{9} ved at multiplicere -\frac{4}{3} med den reciprokke værdi af \frac{1}{9}.

$$x^{2}-12x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Divider -2 med \frac{1}{9} ved at multiplicere -2 med den reciprokke værdi af \frac{1}{9}.

$$x^{2}-12x=-18$$

Divider -12, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -6. Adder derefter kvadratet af -6 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-18+\left(-6\right)^{2}$$

Kvadrér -6.

$$x^{2}-12x+36=-18+36$$

Adder -18 til 36.

$$x^{2}-12x+36=18$$

Faktor x^{2}-12x+36. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-6\right)^{2}=18$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{18}$$

Forenkling.

$$x-6=3\sqrt{2} x-6=-3\sqrt{2}$$

Adder 6 på begge sider af ligningen.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$