Løs x^2/4-x+5=0

$$\frac { x ^ { 2 } } { 4 } - x + 5 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=2+4i$$

$$x=2-4i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$\frac{1}{4}x^{2}-x+5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat \frac{1}{4} med a, -1 med b og 5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times \frac{1}{4}\times 5}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Multiplicer -4 gange \frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-5}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Adder 1 til -5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-4}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Tag kvadratroden af -4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±2i}{2\times \frac{1}{4}}$$

Det modsatte af -1 er 1.

$$x=\frac{1±2i}{2\times \frac{1}{4}}$$

Multiplicer 2 gange \frac{1}{4}.

$$x=\frac{1±2i}{\frac{1}{2}}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±2i}{\frac{1}{2}} når ± er plus. Adder 1 til 2i.

$$x=\frac{1+2i}{\frac{1}{2}}$$

Divider 1+2i med \frac{1}{2} ved at multiplicere 1+2i med den reciprokke værdi af \frac{1}{2}.

$$x=2+4i$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±2i}{\frac{1}{2}} når ± er minus. Subtraher 2i fra 1.

$$x=\frac{1-2i}{\frac{1}{2}}$$

Divider 1-2i med \frac{1}{2} ved at multiplicere 1-2i med den reciprokke værdi af \frac{1}{2}.

$$x=2-4i$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2+4i x=2-4i$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$\frac{1}{4}x^{2}-x+5=0$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$\frac{1}{4}x^{2}-x+5-5=-5$$

Hvis 5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$\frac{1}{4}x^{2}-x=-5$$

Multiplicer begge sider med 4.

$$\frac{\frac{1}{4}x^{2}-x}{\frac{1}{4}}=-\frac{5}{\frac{1}{4}}$$

Division med \frac{1}{4} annullerer multiplikationen med \frac{1}{4}.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{\frac{1}{4}}\right)x=-\frac{5}{\frac{1}{4}}$$

Divider -1 med \frac{1}{4} ved at multiplicere -1 med den reciprokke værdi af \frac{1}{4}.

$$x^{2}-4x=-\frac{5}{\frac{1}{4}}$$

Divider -5 med \frac{1}{4} ved at multiplicere -5 med den reciprokke værdi af \frac{1}{4}.

$$x^{2}-4x=-20$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-20+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$x^{2}-4x+4=-20+4$$

Adder -20 til 4.

$$x^{2}-4x+4=-16$$

Faktor x^{2}-4x+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=-16$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-16}$$

Forenkling.

$$x-2=4i x-2=-4i$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$x=2+4i x=2-4i$$