Løs x^2+6x-7/3x^2-x-2=5

$$\frac { x ^ { 2 } + 6 x - 7 } { 3 x ^ { 2 } - x - 2 } = 5$$

Løs for x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -\frac{2}{3},1, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med \left(x-1\right)\left(3x+2\right).

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5 med x-1.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5x-5 med 3x+2, og kombiner ens led.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

Subtraher 15x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

Kombiner x^{2} og -15x^{2} for at få -14x^{2}.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

Tilføj 5x på begge sider.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

Kombiner 6x og 5x for at få 11x.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

Tilføj 10 på begge sider.

$$-14x^{2}+11x-7+10=0$$

Tilføj -7 og 10 for at få 3.

$$-14x^{2}+11x+3=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -14x^{2}+ax+bx+3. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=11 ab=-14\times 3=-42$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Løsningen er det par, der får summen 11.

$$a=14 b=-3$$

Omskriv -14x^{2}+11x+3 som \left(-14x^{2}+14x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(-14x^{2}+14x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Ud14x i den første og 3 i den anden gruppe.

$$14x\left(-x+1\right)+3\left(-x+1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x+1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x+1\right)\left(14x+3\right)$$

Løs -x+1=0 og 14x+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=1 x=-\frac{3}{14}$$

Variablen x må ikke være lig med 1.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -\frac{2}{3},1, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med \left(x-1\right)\left(3x+2\right).

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5 med x-1.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5x-5 med 3x+2, og kombiner ens led.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

Subtraher 15x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

Kombiner x^{2} og -15x^{2} for at få -14x^{2}.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

Tilføj 5x på begge sider.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

Kombiner 6x og 5x for at få 11x.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

Tilføj 10 på begge sider.

$$-14x^{2}+11x-7+10=0$$

Tilføj -7 og 10 for at få 3.

$$-14x^{2}+11x+3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -14 med a, 11 med b og 3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-14\right)\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

Kvadrér 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-14\right)\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

Multiplicer -4 gange -14.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+56\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

Multiplicer 56 gange 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+168}}{2\left(-14\right)}$$

Adder 121 til 168.

$$x=\frac{-11±\sqrt{289}}{2\left(-14\right)}$$

Tag kvadratroden af 289.

$$x=\frac{-11±17}{2\left(-14\right)}$$

Multiplicer 2 gange -14.

$$x=\frac{-11±17}{-28}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-11±17}{-28} når ± er plus. Adder -11 til 17.

$$x=\frac{6}{-28}$$

Reducer fraktionen \frac{6}{-28} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-11±17}{-28} når ± er minus. Subtraher 17 fra -11.

$$x=-\frac{28}{-28}$$

Divider -28 med -28.

$$x=1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{3}{14} x=1$$

Variablen x må ikke være lig med 1.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -\frac{2}{3},1, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med \left(x-1\right)\left(3x+2\right).

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5 med x-1.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5x-5 med 3x+2, og kombiner ens led.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

Subtraher 15x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

Kombiner x^{2} og -15x^{2} for at få -14x^{2}.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

Tilføj 5x på begge sider.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

Kombiner 6x og 5x for at få 11x.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

Tilføj 7 på begge sider.

$$-14x^{2}+11x=-10+7$$

Tilføj -10 og 7 for at få -3.

$$-14x^{2}+11x=-3$$

Divider begge sider med -14.

$$\frac{-14x^{2}+11x}{-14}=-\frac{3}{-14}$$

Division med -14 annullerer multiplikationen med -14.

$$x^{2}+\frac{11}{-14}x=-\frac{3}{-14}$$

Divider 11 med -14.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x=-\frac{3}{-14}$$

Divider -3 med -14.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x=\frac{3}{14}$$

Divider -\frac{11}{14}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{11}{28}. Adder derefter kvadratet af -\frac{11}{28} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\left(-\frac{11}{28}\right)^{2}=\frac{3}{14}+\left(-\frac{11}{28}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{11}{28} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}=\frac{3}{14}+\frac{121}{784}$$

Føj \frac{3}{14} til \frac{121}{784} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}=\frac{289}{784}$$

Faktor x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{11}{28}\right)^{2}=\frac{289}{784}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{784}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{11}{28}=\frac{17}{28} x-\frac{11}{28}=-\frac{17}{28}$$

Adder \frac{11}{28} på begge sider af ligningen.

$$x=1 x=-\frac{3}{14}$$

Variablen x må ikke være lig med 1.

$$x=-\frac{3}{14}$$