Løs x^2+5/25-x^2=3/x+5+x/x-5

$$\frac { x ^ { 2 } + 5 } { 25 - x ^ { 2 } } = \frac { 3 } { x + 5 } + \frac { x } { x - 5 }$$

Løs for x

$$x=1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -5,5, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-5\right)\left(x+5\right), det mindste fælles multiplum af 25-x^{2},x+5,x-5.

$$-\left(x^{2}+5\right)=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

For at finde det modsatte af x^{2}+5 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$-x^{2}-5=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-5 med 3.

$$-x^{2}-5=3x-15+\left(x+5\right)x$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+5 med x.

$$-x^{2}-5=3x-15+x^{2}+5x$$

Kombiner 3x og 5x for at få 8x.

$$-x^{2}-5=8x-15+x^{2}$$

Subtraher 8x fra begge sider.

$$-x^{2}-5-8x=-15+x^{2}$$

Subtraher -15 fra begge sider.

$$-x^{2}-5-8x-\left(-15\right)=x^{2}$$

Det modsatte af -15 er 15.

$$-x^{2}-5-8x+15=x^{2}$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$-x^{2}-5-8x+15-x^{2}=0$$

Tilføj -5 og 15 for at få 10.

$$-x^{2}+10-8x-x^{2}=0$$

Kombiner -x^{2} og -x^{2} for at få -2x^{2}.

$$-2x^{2}+10-8x=0$$

Divider begge sider med 2.

$$-x^{2}+5-4x=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-x^{2}-4x+5=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx+5. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-4 ab=-5=-5$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=1 b=-5$$

Omskriv -x^{2}-4x+5 som \left(-x^{2}+x\right)+\left(-5x+5\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-5x+5\right)$$

Udx i den første og 5 i den anden gruppe.

$$x\left(-x+1\right)+5\left(-x+1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x+1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x+1\right)\left(x+5\right)$$

Løs -x+1=0 og x+5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=1 x=-5$$

Variablen x må ikke være lig med -5.

$$x=1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -5,5, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-5\right)\left(x+5\right), det mindste fælles multiplum af 25-x^{2},x+5,x-5.

$$-\left(x^{2}+5\right)=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

For at finde det modsatte af x^{2}+5 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$-x^{2}-5=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-5 med 3.

$$-x^{2}-5=3x-15+\left(x+5\right)x$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+5 med x.

$$-x^{2}-5=3x-15+x^{2}+5x$$

Kombiner 3x og 5x for at få 8x.

$$-x^{2}-5=8x-15+x^{2}$$

Subtraher 8x fra begge sider.

$$-x^{2}-5-8x=-15+x^{2}$$

Subtraher -15 fra begge sider.

$$-x^{2}-5-8x-\left(-15\right)=x^{2}$$

Det modsatte af -15 er 15.

$$-x^{2}-5-8x+15=x^{2}$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$-x^{2}-5-8x+15-x^{2}=0$$

Tilføj -5 og 15 for at få 10.

$$-x^{2}+10-8x-x^{2}=0$$

Kombiner -x^{2} og -x^{2} for at få -2x^{2}.

$$-2x^{2}+10-8x=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-2x^{2}-8x+10=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -2 med a, -8 med b og 10 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 10}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrér -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-2\right)\times 10}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+8\times 10}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 8 gange 10.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\left(-2\right)}$$

Adder 64 til 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\left(-2\right)}$$

Tag kvadratroden af 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\left(-2\right)}$$

Det modsatte af -8 er 8.

$$x=\frac{8±12}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 2 gange -2.

$$x=\frac{8±12}{-4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±12}{-4} når ± er plus. Adder 8 til 12.

$$x=\frac{20}{-4}$$

Divider 20 med -4.

$$x=-5$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±12}{-4} når ± er minus. Subtraher 12 fra 8.

$$x=-\frac{4}{-4}$$

Divider -4 med -4.

$$x=1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-5 x=1$$

Variablen x må ikke være lig med -5.

$$x=1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -5,5, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-5\right)\left(x+5\right), det mindste fælles multiplum af 25-x^{2},x+5,x-5.

$$-\left(x^{2}+5\right)=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

For at finde det modsatte af x^{2}+5 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$-x^{2}-5=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-5 med 3.

$$-x^{2}-5=3x-15+\left(x+5\right)x$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+5 med x.

$$-x^{2}-5=3x-15+x^{2}+5x$$

Kombiner 3x og 5x for at få 8x.

$$-x^{2}-5=8x-15+x^{2}$$

Subtraher 8x fra begge sider.

$$-x^{2}-5-8x=-15+x^{2}$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$-x^{2}-5-8x-x^{2}=-15$$

Kombiner -x^{2} og -x^{2} for at få -2x^{2}.

$$-2x^{2}-5-8x=-15$$

Tilføj 5 på begge sider.

$$-2x^{2}-8x=-15+5$$

Tilføj -15 og 5 for at få -10.

$$-2x^{2}-8x=-10$$

Divider begge sider med -2.

$$\frac{-2x^{2}-8x}{-2}=-\frac{10}{-2}$$

Division med -2 annullerer multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-2}\right)x=-\frac{10}{-2}$$

Divider -8 med -2.

$$x^{2}+4x=-\frac{10}{-2}$$

Divider -10 med -2.

$$x^{2}+4x=5$$

Divider 4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 2. Adder derefter kvadratet af 2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+4x+2^{2}=5+2^{2}$$

Kvadrér 2.

$$x^{2}+4x+4=5+4$$

Adder 5 til 4.

$$x^{2}+4x+4=9$$

Faktor x^{2}+4x+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+2\right)^{2}=9$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Forenkling.

$$x+2=3 x+2=-3$$

Subtraher 2 fra begge sider af ligningen.

$$x=1 x=-5$$

Variablen x må ikke være lig med -5.

$$x=1$$