Løs x+9/x+16x/x+9=8

$$\frac { x + 9 } { x } + \frac { 16 x } { x + 9 } = 8$$

Løs for x

$$x=3$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -9,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x+9\right), det mindste fælles multiplum af x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplicer x+9 og x+9 for at få \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplicer x og x for at få x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Kombiner x^{2} og x^{2}\times 16 for at få 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 8x med x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Subtraher 8x^{2} fra begge sider.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Kombiner 17x^{2} og -8x^{2} for at få 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Subtraher 72x fra begge sider.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Kombiner 18x og -72x for at få -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Divider begge sider med 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx+9. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-6 ab=1\times 9=9$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

Løsningen er det par, der får summen -6.

$$a=-3 b=-3$$

Omskriv x^{2}-6x+9 som \left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right)$$

Udx i den første og -3 i den anden gruppe.

$$x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)$$

Omskriv som et binomialt kvadrat.

$$\left(x-3\right)^{2}$$

For at finde Ligningsløsningen skal du løse x-3=0.

$$x=3$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -9,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x+9\right), det mindste fælles multiplum af x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplicer x+9 og x+9 for at få \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplicer x og x for at få x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Kombiner x^{2} og x^{2}\times 16 for at få 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 8x med x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Subtraher 8x^{2} fra begge sider.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Kombiner 17x^{2} og -8x^{2} for at få 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Subtraher 72x fra begge sider.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Kombiner 18x og -72x for at få -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, -54 med b og 81 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Kvadrér -54.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-36\times 81}}{2\times 9}$$

Multiplicer -36 gange 81.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-2916}}{2\times 9}$$

Adder 2916 til -2916.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af 0.

$$x=-\frac{-54}{2\times 9}$$

Det modsatte af -54 er 54.

$$x=\frac{54}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$x=\frac{54}{18}$$

Divider 54 med 18.

$$x=3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -9,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x+9\right), det mindste fælles multiplum af x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplicer x+9 og x+9 for at få \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplicer x og x for at få x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Kombiner x^{2} og x^{2}\times 16 for at få 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 8x med x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Subtraher 8x^{2} fra begge sider.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Kombiner 17x^{2} og -8x^{2} for at få 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Subtraher 72x fra begge sider.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Kombiner 18x og -72x for at få -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Subtraher 81 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$9x^{2}-54x=-81$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9x^{2}-54x}{9}=-\frac{81}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{54}{9}\right)x=-\frac{81}{9}$$

Divider -54 med 9.

$$x^{2}-6x=-\frac{81}{9}$$

Divider -81 med 9.

$$x^{2}-6x=-9$$

Divider -6, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -3. Adder derefter kvadratet af -3 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrér -3.

$$x^{2}-6x+9=-9+9$$

Adder -9 til 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Faktor x^{2}-6x+9. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkling.

$$x-3=0 x-3=0$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$x=3 x=3$$

Ligningen er nu løst. Løsningerne er de samme.

$$x=3$$