Løs x+1/3x-1=1-2x+1/4

$$\frac { x + 1 } { 3 x - 1 } = 1 - \frac { 2 x + 1 } { 4 }$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{119}i}{12}\approx 0,583333333+0,909059343i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+7}{12}\approx 0,583333333-0,909059343i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med \frac{1}{3}, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 4\left(3x-1\right), det mindste fælles multiplum af 3x-1,4.

$$4\left(x+1\right)=4\left(3x-1\right)-\left(3x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med x+1.

$$4x+4=4\left(3x-1\right)-\left(3x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med 3x-1.

$$4x+4=12x-4-\left(3x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x-1 med 2x+1, og kombiner ens led.

$$4x+4=12x-4-\left(6x^{2}+x-1\right)$$

For at finde det modsatte af 6x^{2}+x-1 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$4x+4=12x-4-6x^{2}-x+1$$

Kombiner 12x og -x for at få 11x.

$$4x+4=11x-4-6x^{2}+1$$

Tilføj -4 og 1 for at få -3.

$$4x+4=11x-3-6x^{2}$$

Subtraher 11x fra begge sider.

$$4x+4-11x=-3-6x^{2}$$

Kombiner 4x og -11x for at få -7x.

$$-7x+4=-3-6x^{2}$$

Subtraher -3 fra begge sider.

$$-7x+4-\left(-3\right)=-6x^{2}$$

Det modsatte af -3 er 3.

$$-7x+4+3=-6x^{2}$$

Tilføj 6x^{2} på begge sider.

$$-7x+4+3+6x^{2}=0$$

Tilføj 4 og 3 for at få 7.

$$-7x+7+6x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$6x^{2}-7x+7=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 6 med a, -7 med b og 7 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6\times 7}}{2\times 6}$$

Kvadrér -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6\times 7}}{2\times 6}$$

Multiplicer -4 gange 6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24\times 7}}{2\times 6}$$

Multiplicer -24 gange 7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-168}}{2\times 6}$$

Adder 49 til -168.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-119}}{2\times 6}$$

Tag kvadratroden af -119.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{119}i}{2\times 6}$$

Det modsatte af -7 er 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{119}i}{2\times 6}$$

Multiplicer 2 gange 6.

$$x=\frac{7±\sqrt{119}i}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±\sqrt{119}i}{12} når ± er plus. Adder 7 til i\sqrt{119}.

$$x=\frac{7+\sqrt{119}i}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±\sqrt{119}i}{12} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{119} fra 7.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+7}{12}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{7+\sqrt{119}i}{12} x=\frac{-\sqrt{119}i+7}{12}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med \frac{1}{3}, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 4\left(3x-1\right), det mindste fælles multiplum af 3x-1,4.

$$4\left(x+1\right)=4\left(3x-1\right)-\left(3x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med x+1.

$$4x+4=4\left(3x-1\right)-\left(3x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med 3x-1.

$$4x+4=12x-4-\left(3x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x-1 med 2x+1, og kombiner ens led.

$$4x+4=12x-4-\left(6x^{2}+x-1\right)$$

For at finde det modsatte af 6x^{2}+x-1 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$4x+4=12x-4-6x^{2}-x+1$$

Kombiner 12x og -x for at få 11x.

$$4x+4=11x-4-6x^{2}+1$$

Tilføj -4 og 1 for at få -3.

$$4x+4=11x-3-6x^{2}$$

Subtraher 11x fra begge sider.

$$4x+4-11x=-3-6x^{2}$$

Kombiner 4x og -11x for at få -7x.

$$-7x+4=-3-6x^{2}$$

Tilføj 6x^{2} på begge sider.

$$-7x+4+6x^{2}=-3$$

Subtraher 4 fra begge sider.

$$-7x+6x^{2}=-3-4$$

Subtraher 4 fra -3 for at få -7.

$$-7x+6x^{2}=-7$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$6x^{2}-7x=-7$$

Divider begge sider med 6.

$$\frac{6x^{2}-7x}{6}=-\frac{7}{6}$$

Division med 6 annullerer multiplikationen med 6.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=-\frac{7}{6}$$

Divider -\frac{7}{6}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{12}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{12} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=-\frac{7}{6}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{12} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=-\frac{7}{6}+\frac{49}{144}$$

Føj -\frac{7}{6} til \frac{49}{144} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=-\frac{119}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=-\frac{119}{144}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{144}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{12}=\frac{\sqrt{119}i}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{\sqrt{119}i}{12}$$

Adder \frac{7}{12} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{7+\sqrt{119}i}{12} x=\frac{-\sqrt{119}i+7}{12}$$