Løs u+2/u-4-1=u+1/u-3

$$\frac { u + 2 } { u - 4 } - 1 = \frac { u + 1 } { u - 3 }$$

Løs for u

$$u=2$$

$$u=7$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen u må ikke være lig med en af følgende værdier 3,4, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(u-4\right)\left(u-3\right), det mindste fælles multiplum af u-4,u-3.

$$\left(u-3\right)\left(u+2\right)+\left(u-4\right)\left(u-3\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere u-3 med u+2, og kombiner ens led.

$$u^{2}-u-6+\left(u-4\right)\left(u-3\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere u-4 med u-3, og kombiner ens led.

$$u^{2}-u-6+\left(u^{2}-7u+12\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere u^{2}-7u+12 med -1.

$$u^{2}-u-6-u^{2}+7u-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Kombiner u^{2} og -u^{2} for at få 0.

$$-u-6+7u-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Kombiner -u og 7u for at få 6u.

$$6u-6-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Subtraher 12 fra -6 for at få -18.

$$6u-18=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere u-4 med u+1, og kombiner ens led.

$$6u-18=u^{2}-3u-4$$

Subtraher u^{2} fra begge sider.

$$6u-18-u^{2}=-3u-4$$

Tilføj 3u på begge sider.

$$6u-18-u^{2}+3u=-4$$

Kombiner 6u og 3u for at få 9u.

$$9u-18-u^{2}=-4$$

Tilføj 4 på begge sider.

$$9u-18-u^{2}+4=0$$

Tilføj -18 og 4 for at få -14.

$$9u-14-u^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-u^{2}+9u-14=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 9 med b og -14 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$u=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-1\right)\left(-14\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 9.

$$u=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-1\right)\left(-14\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$u=\frac{-9±\sqrt{81+4\left(-14\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -14.

$$u=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 81 til -56.

$$u=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 25.

$$u=\frac{-9±5}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$u=\frac{-9±5}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, u=\frac{-9±5}{-2} når ± er plus. Adder -9 til 5.

$$u=-\frac{4}{-2}$$

Divider -4 med -2.

$$u=2$$

Nu skal du løse ligningen, u=\frac{-9±5}{-2} når ± er minus. Subtraher 5 fra -9.

$$u=-\frac{14}{-2}$$

Divider -14 med -2.

$$u=7$$

Ligningen er nu løst.

$$u=2 u=7$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen u må ikke være lig med en af følgende værdier 3,4, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(u-4\right)\left(u-3\right), det mindste fælles multiplum af u-4,u-3.

$$\left(u-3\right)\left(u+2\right)+\left(u-4\right)\left(u-3\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere u-3 med u+2, og kombiner ens led.

$$u^{2}-u-6+\left(u-4\right)\left(u-3\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere u-4 med u-3, og kombiner ens led.

$$u^{2}-u-6+\left(u^{2}-7u+12\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere u^{2}-7u+12 med -1.

$$u^{2}-u-6-u^{2}+7u-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Kombiner u^{2} og -u^{2} for at få 0.

$$-u-6+7u-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Kombiner -u og 7u for at få 6u.

$$6u-6-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Subtraher 12 fra -6 for at få -18.

$$6u-18=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere u-4 med u+1, og kombiner ens led.

$$6u-18=u^{2}-3u-4$$

Subtraher u^{2} fra begge sider.

$$6u-18-u^{2}=-3u-4$$

Tilføj 3u på begge sider.

$$6u-18-u^{2}+3u=-4$$

Kombiner 6u og 3u for at få 9u.

$$9u-18-u^{2}=-4$$

Tilføj 18 på begge sider.

$$9u-u^{2}=-4+18$$

Tilføj -4 og 18 for at få 14.

$$9u-u^{2}=14$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-u^{2}+9u=14$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-u^{2}+9u}{-1}=\frac{14}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$u^{2}+\frac{9}{-1}u=\frac{14}{-1}$$

Divider 9 med -1.

$$u^{2}-9u=\frac{14}{-1}$$

Divider 14 med -1.

$$u^{2}-9u=-14$$

Divider -9, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{9}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{9}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$u^{2}-9u+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-14+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{9}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$u^{2}-9u+\frac{81}{4}=-14+\frac{81}{4}$$

Adder -14 til \frac{81}{4}.

$$u^{2}-9u+\frac{81}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktor u^{2}-9u+\frac{81}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(u-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(u-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Forenkling.

$$u-\frac{9}{2}=\frac{5}{2} u-\frac{9}{2}=-\frac{5}{2}$$

Adder \frac{9}{2} på begge sider af ligningen.

$$u=7 u=2$$